Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29131 / 44989
↖ ↑ ↗
← S 55.569028°
W 19.978638°		 ← 345.38 m → S 55.569028°
W 19.973144°		 →
↑
345.37 m
↓
↑
345.37 m
↓
S 55.572134°
W 19.978638°		 ← 345.36 m →
119 281 m²		 S 55.572134°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444511413574219 y=0.686485290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444511413574219 × 216)
    floor (0.444511413574219 × 65536)
    floor (29131.5)     		tx = 29131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686485290527344 × 216)
    floor (0.686485290527344 × 65536)
    floor (44989.5)     		ty = 44989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29131 / 44989 ti = "16/29131/44989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29131/44989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29131 ÷ 216
    29131 ÷ 65536     		x = 0.444503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44989 ÷ 216
    44989 ÷ 65536     		y = 0.686477661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444503784179688 × 2 - 1) × π
    -0.110992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34869301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686477661132812 × 2 - 1) × π
    -0.372955322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17167370051341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34869301} λ = -0.34869301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17167370051341))-π/2
    2×atan(0.309847914425448)-π/2
    2×0.300466912524367-π/2
    0.600933825048734-1.57079632675     		φ = -0.96986250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34869301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.978638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96986250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.569028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29131 KachelY 44989 -0.34869301 -0.96986250 -19.978638 -55.569028
    Oben rechts KachelX + 1 29132 KachelY 44989 -0.34859713 -0.96986250 -19.973144 -55.569028
    Unten links KachelX 29131 KachelY + 1 44990 -0.34869301 -0.96991671 -19.978638 -55.572134
    Unten rechts KachelX + 1 29132 KachelY + 1 44990 -0.34859713 -0.96991671 -19.973144 -55.572134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96986250--0.96991671) × R
    5.42100000000545e-05 × 6371000     		dl = 345.371910000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96986250--0.96991671) × R
    5.42100000000545e-05 × 6371000     		dr = 345.371910000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34869301--0.34859713) × cos(-0.96986250) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.565412947601734 × 6371000     		do = 345.383335853855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34869301--0.34859713) × cos(-0.96991671) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.565368233930534 × 6371000     		du = 345.356022441626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96986250)-sin(-0.96991671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565412947601734-0.565368233930534)×R²
    abs(-0.34859713--0.34869301)×4.47136711998475e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.47136711998475e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.47136711998475e-05×40589641000000     		ar = 119280.985772682m²