Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29130 / 45014
↖ ↑ ↗
← S 55.646599°
W 19.984131°		 ← 344.66 m → S 55.646599°
W 19.978638°		 →
↑
344.67 m
↓
↑
344.67 m
↓
S 55.649699°
W 19.984131°		 ← 344.64 m →
118 791 m²		 S 55.649699°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444496154785156 y=0.686866760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444496154785156 × 216)
    floor (0.444496154785156 × 65536)
    floor (29130.5)     		tx = 29130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686866760253906 × 216)
    floor (0.686866760253906 × 65536)
    floor (45014.5)     		ty = 45014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29130 / 45014 ti = "16/29130/45014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29130/45014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29130 ÷ 216
    29130 ÷ 65536     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45014 ÷ 216
    45014 ÷ 65536     		y = 0.686859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.37371826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17407054549442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17407054549442))-π/2
    2×atan(0.309106146313585)-π/2
    2×0.299789978488767-π/2
    0.599579956977534-1.57079632675     		φ = -0.97121637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97121637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.646599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29130 KachelY 45014 -0.34878888 -0.97121637 -19.984131 -55.646599
    Oben rechts KachelX + 1 29131 KachelY 45014 -0.34869301 -0.97121637 -19.978638 -55.646599
    Unten links KachelX 29130 KachelY + 1 45015 -0.34878888 -0.97127047 -19.984131 -55.649699
    Unten rechts KachelX + 1 29131 KachelY + 1 45015 -0.34869301 -0.97127047 -19.978638 -55.649699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97121637--0.97127047) × R
    5.40999999999459e-05 × 6371000     		dl = 344.671099999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97121637--0.97127047) × R
    5.40999999999459e-05 × 6371000     		dr = 344.671099999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34869301) × cos(-0.97121637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564295746976545 × 6371000     		do = 344.664940916281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34869301) × cos(-0.97127047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56425108266682 × 6371000     		du = 344.637660502145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97121637)-sin(-0.97127047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564295746976545-0.56425108266682)×R²
    abs(-0.34869301--0.34878888)×4.46643097247179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46643097247179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46643097247179e-05×40589641000000     		ar = 118791.342960581m²