Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29130 / 44985
↖ ↑ ↗
← S 55.556602°
W 19.984131°		 ← 345.46 m → S 55.556602°
W 19.978638°		 →
↑
345.50 m
↓
↑
345.50 m
↓
S 55.559709°
W 19.984131°		 ← 345.43 m →
119 350 m²		 S 55.559709°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444496154785156 y=0.686424255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444496154785156 × 216)
    floor (0.444496154785156 × 65536)
    floor (29130.5)     		tx = 29130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686424255371094 × 216)
    floor (0.686424255371094 × 65536)
    floor (44985.5)     		ty = 44985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29130 / 44985 ti = "16/29130/44985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29130/44985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29130 ÷ 216
    29130 ÷ 65536     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44985 ÷ 216
    44985 ÷ 65536     		y = 0.686416625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686416625976562 × 2 - 1) × π
    -0.372833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17129020531645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17129020531645))-π/2
    2×atan(0.309966762399776)-π/2
    2×0.300575346246519-π/2
    0.601150692493038-1.57079632675     		φ = -0.96964563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96964563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.556602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29130 KachelY 44985 -0.34878888 -0.96964563 -19.984131 -55.556602
    Oben rechts KachelX + 1 29131 KachelY 44985 -0.34869301 -0.96964563 -19.978638 -55.556602
    Unten links KachelX 29130 KachelY + 1 44986 -0.34878888 -0.96969986 -19.984131 -55.559709
    Unten rechts KachelX + 1 29131 KachelY + 1 44986 -0.34869301 -0.96969986 -19.978638 -55.559709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96964563--0.96969986) × R
    5.42299999999329e-05 × 6371000     		dl = 345.499329999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96964563--0.96969986) × R
    5.42299999999329e-05 × 6371000     		dr = 345.499329999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34869301) × cos(-0.96964563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565591810409853 × 6371000     		do = 345.456560610489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34869301) × cos(-0.96969986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565547086892412 × 6371000     		du = 345.429244033005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96964563)-sin(-0.96969986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565591810409853-0.565547086892412)×R²
    abs(-0.34869301--0.34878888)×4.47235174410032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47235174410032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47235174410032e-05×40589641000000     		ar = 119350.291334327m²