Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29129 / 45003
↖ ↑ ↗
← S 55.612487°
W 19.989624°		 ← 345 m → S 55.612487°
W 19.984131°		 →
↑
344.93 m
↓
↑
344.93 m
↓
S 55.615589°
W 19.989624°		 ← 344.97 m →
118 995 m²		 S 55.615589°
W 19.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444480895996094 y=0.686698913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444480895996094 × 216)
    floor (0.444480895996094 × 65536)
    floor (29129.5)     		tx = 29129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686698913574219 × 216)
    floor (0.686698913574219 × 65536)
    floor (45003.5)     		ty = 45003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29129 / 45003 ti = "16/29129/45003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29129/45003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29129 ÷ 216
    29129 ÷ 65536     		x = 0.444473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45003 ÷ 216
    45003 ÷ 65536     		y = 0.686691284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444473266601562 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34888476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686691284179688 × 2 - 1) × π
    -0.373382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17301593370277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34888476} λ = -0.34888476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17301593370277))-π/2
    2×atan(0.309432305255659)-π/2
    2×0.300087664518302-π/2
    0.600175329036605-1.57079632675     		φ = -0.97062100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34888476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.989624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97062100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.612487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29129 KachelY 45003 -0.34888476 -0.97062100 -19.989624 -55.612487
    Oben rechts KachelX + 1 29130 KachelY 45003 -0.34878888 -0.97062100 -19.984131 -55.612487
    Unten links KachelX 29129 KachelY + 1 45004 -0.34888476 -0.97067514 -19.989624 -55.615589
    Unten rechts KachelX + 1 29130 KachelY + 1 45004 -0.34878888 -0.97067514 -19.984131 -55.615589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97062100--0.97067514) × R
    5.41400000000358e-05 × 6371000     		dl = 344.925940000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97062100--0.97067514) × R
    5.41400000000358e-05 × 6371000     		dr = 344.925940000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(-0.97062100) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564787168163961 × 6371000     		do = 345.001077557938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(-0.97067514) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564742489026438 × 6371000     		du = 344.973785240657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97062100)-sin(-0.97067514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564787168163961-0.564742489026438)×R²
    abs(-0.34878888--0.34888476)×4.46791375224853e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46791375224853e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46791375224853e-05×40589641000000     		ar = 118995.114092844m²