Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29127 / 44641
↖ ↑ ↗
← S 54.473230°
W 20.000610°		 ← 354.92 m → S 54.473230°
W 19.995117°		 →
↑
354.93 m
↓
↑
354.93 m
↓
S 54.476422°
W 20.000610°		 ← 354.89 m →
125 966 m²		 S 54.476422°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444450378417969 y=0.681175231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444450378417969 × 216)
    floor (0.444450378417969 × 65536)
    floor (29127.5)     		tx = 29127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681175231933594 × 216)
    floor (0.681175231933594 × 65536)
    floor (44641.5)     		ty = 44641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29127 / 44641 ti = "16/29127/44641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29127/44641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29127 ÷ 216
    29127 ÷ 65536     		x = 0.444442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44641 ÷ 216
    44641 ÷ 65536     		y = 0.681167602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444442749023438 × 2 - 1) × π
    -0.111114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34907650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681167602539062 × 2 - 1) × π
    -0.362335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13830961837785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34907650} λ = -0.34907650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13830961837785))-π/2
    2×atan(0.320360095194604)-π/2
    2×0.310029556975419-π/2
    0.620059113950838-1.57079632675     		φ = -0.95073721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34907650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.000610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95073721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.473230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29127 KachelY 44641 -0.34907650 -0.95073721 -20.000610 -54.473230
    Oben rechts KachelX + 1 29128 KachelY 44641 -0.34898063 -0.95073721 -19.995117 -54.473230
    Unten links KachelX 29127 KachelY + 1 44642 -0.34907650 -0.95079292 -20.000610 -54.476422
    Unten rechts KachelX + 1 29128 KachelY + 1 44642 -0.34898063 -0.95079292 -19.995117 -54.476422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95073721--0.95079292) × R
    5.57100000000421e-05 × 6371000     		dl = 354.928410000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95073721--0.95079292) × R
    5.57100000000421e-05 × 6371000     		dr = 354.928410000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(-0.95073721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581083273407771 × 6371000     		do = 354.918556749025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(-0.95079292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581037933250906 × 6371000     		du = 354.890863535722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95073721)-sin(-0.95079292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581083273407771-0.581037933250906)×R²
    abs(-0.34898063--0.34907650)×4.53401568650813e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53401568650813e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53401568650813e-05×40589641000000     		ar = 125965.764505037m²