Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29127 / 44609
↖ ↑ ↗
← S 54.370959°
W 20.000610°		 ← 355.81 m → S 54.370959°
W 19.995117°		 →
↑
355.76 m
↓
↑
355.76 m
↓
S 54.374158°
W 20.000610°		 ← 355.78 m →
126 575 m²		 S 54.374158°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444450378417969 y=0.680686950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444450378417969 × 216)
    floor (0.444450378417969 × 65536)
    floor (29127.5)     		tx = 29127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680686950683594 × 216)
    floor (0.680686950683594 × 65536)
    floor (44609.5)     		ty = 44609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29127 / 44609 ti = "16/29127/44609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29127/44609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29127 ÷ 216
    29127 ÷ 65536     		x = 0.444442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44609 ÷ 216
    44609 ÷ 65536     		y = 0.680679321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444442749023438 × 2 - 1) × π
    -0.111114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34907650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680679321289062 × 2 - 1) × π
    -0.361358642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13524165680217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34907650} λ = -0.34907650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13524165680217))-π/2
    2×atan(0.321344456876853)-π/2
    2×0.310922040808473-π/2
    0.621844081616945-1.57079632675     		φ = -0.94895225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34907650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.000610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94895225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.370959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29127 KachelY 44609 -0.34907650 -0.94895225 -20.000610 -54.370959
    Oben rechts KachelX + 1 29128 KachelY 44609 -0.34898063 -0.94895225 -19.995117 -54.370959
    Unten links KachelX 29127 KachelY + 1 44610 -0.34907650 -0.94900809 -20.000610 -54.374158
    Unten rechts KachelX + 1 29128 KachelY + 1 44610 -0.34898063 -0.94900809 -19.995117 -54.374158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94895225--0.94900809) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dl = 355.756639999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94895225--0.94900809) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dr = 355.756639999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(-0.94895225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582535026123075 × 6371000     		do = 355.805269552597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(-0.94900809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582489638150194 × 6371000     		du = 355.777547133856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94895225)-sin(-0.94900809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582535026123075-0.582489638150194)×R²
    abs(-0.34898063--0.34907650)×4.53879728814499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53879728814499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53879728814499e-05×40589641000000     		ar = 126575.156005761m²