Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29124 / 44350
↖ ↑ ↗
← S 53.533778°
W 20.017090°		 ← 363.02 m → S 53.533778°
W 20.011597°		 →
↑
363.02 m
↓
↑
363.02 m
↓
S 53.537043°
W 20.017090°		 ← 362.99 m →
131 779 m²		 S 53.537043°
W 20.011597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444404602050781 y=0.676734924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444404602050781 × 216)
    floor (0.444404602050781 × 65536)
    floor (29124.5)     		tx = 29124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676734924316406 × 216)
    floor (0.676734924316406 × 65536)
    floor (44350.5)     		ty = 44350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29124 / 44350 ti = "16/29124/44350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29124/44350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29124 ÷ 216
    29124 ÷ 65536     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44350 ÷ 216
    44350 ÷ 65536     		y = 0.676727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.35345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11041034279898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11041034279898))-π/2
    2×atan(0.329423756670646)-π/2
    2×0.318227818233075-π/2
    0.63645563646615-1.57079632675     		φ = -0.93434069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93434069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.533778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29124 KachelY 44350 -0.34936412 -0.93434069 -20.017090 -53.533778
    Oben rechts KachelX + 1 29125 KachelY 44350 -0.34926825 -0.93434069 -20.011597 -53.533778
    Unten links KachelX 29124 KachelY + 1 44351 -0.34936412 -0.93439767 -20.017090 -53.537043
    Unten rechts KachelX + 1 29125 KachelY + 1 44351 -0.34926825 -0.93439767 -20.011597 -53.537043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93434069--0.93439767) × R
    5.69799999999843e-05 × 6371000     		dl = 363.0195799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93434069--0.93439767) × R
    5.69799999999843e-05 × 6371000     		dr = 363.0195799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34926825) × cos(-0.93434069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594348777490457 × 6371000     		do = 363.020964405614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34926825) × cos(-0.93439767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594302952788395 × 6371000     		du = 362.992975238031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93434069)-sin(-0.93439767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594348777490457-0.594302952788395)×R²
    abs(-0.34926825--0.34936412)×4.58247020612701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58247020612701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58247020612701e-05×40589641000000     		ar = 131778.637757232m²