Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29122 / 44319
↖ ↑ ↗
← S 53.432447°
W 20.028076°		 ← 363.89 m → S 53.432447°
W 20.022583°		 →
↑
363.91 m
↓
↑
363.91 m
↓
S 53.435719°
W 20.028076°		 ← 363.86 m →
132 418 m²		 S 53.435719°
W 20.022583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444374084472656 y=0.676261901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444374084472656 × 216)
    floor (0.444374084472656 × 65536)
    floor (29122.5)     		tx = 29122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676261901855469 × 216)
    floor (0.676261901855469 × 65536)
    floor (44319.5)     		ty = 44319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29122 / 44319 ti = "16/29122/44319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29122/44319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29122 ÷ 216
    29122 ÷ 65536     		x = 0.444366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44319 ÷ 216
    44319 ÷ 65536     		y = 0.676254272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34955587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676254272460938 × 2 - 1) × π
    -0.352508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10743825502254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34955587} λ = -0.34955587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10743825502254))-π/2
    2×atan(0.330404289383984)-π/2
    2×0.319112102516876-π/2
    0.638224205033751-1.57079632675     		φ = -0.93257212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34955587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.028076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93257212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.432447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29122 KachelY 44319 -0.34955587 -0.93257212 -20.028076 -53.432447
    Oben rechts KachelX + 1 29123 KachelY 44319 -0.34946000 -0.93257212 -20.022583 -53.432447
    Unten links KachelX 29122 KachelY + 1 44320 -0.34955587 -0.93262924 -20.028076 -53.435719
    Unten rechts KachelX + 1 29123 KachelY + 1 44320 -0.34946000 -0.93262924 -20.022583 -53.435719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93257212--0.93262924) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dl = 363.911520000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93257212--0.93262924) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dr = 363.911520000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34955587--0.34946000) × cos(-0.93257212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595770144304104 × 6371000     		do = 363.889117872074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34955587--0.34946000) × cos(-0.93262924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595724267119292 × 6371000     		du = 363.861096648669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93257212)-sin(-0.93262924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595770144304104-0.595724267119292)×R²
    abs(-0.34946000--0.34955587)×4.5877184812082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5877184812082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5877184812082e-05×40589641000000     		ar = 132418.343409315m²