Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29120 / 44331
↖ ↑ ↗
← S 53.471700°
W 20.039063°		 ← 363.55 m → S 53.471700°
W 20.033570°		 →
↑
363.53 m
↓
↑
363.53 m
↓
S 53.474970°
W 20.039063°		 ← 363.52 m →
132 157 m²		 S 53.474970°
W 20.033570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444343566894531 y=0.676445007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444343566894531 × 216)
    floor (0.444343566894531 × 65536)
    floor (29120.5)     		tx = 29120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676445007324219 × 216)
    floor (0.676445007324219 × 65536)
    floor (44331.5)     		ty = 44331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29120 / 44331 ti = "16/29120/44331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29120/44331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29120 ÷ 216
    29120 ÷ 65536     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44331 ÷ 216
    44331 ÷ 65536     		y = 0.676437377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676437377929688 × 2 - 1) × π
    -0.352874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10858874061342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10858874061342))-π/2
    2×atan(0.330024382590433)-π/2
    2×0.318769548348779-π/2
    0.637539096697558-1.57079632675     		φ = -0.93325723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93325723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.471700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29120 KachelY 44331 -0.34974762 -0.93325723 -20.039063 -53.471700
    Oben rechts KachelX + 1 29121 KachelY 44331 -0.34965175 -0.93325723 -20.033570 -53.471700
    Unten links KachelX 29120 KachelY + 1 44332 -0.34974762 -0.93331429 -20.039063 -53.474970
    Unten rechts KachelX + 1 29121 KachelY + 1 44332 -0.34965175 -0.93331429 -20.033570 -53.474970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93325723--0.93331429) × R
    5.70599999999422e-05 × 6371000     		dl = 363.529259999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93325723--0.93331429) × R
    5.70599999999422e-05 × 6371000     		dr = 363.529259999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34965175) × cos(-0.93325723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595219755013135 × 6371000     		do = 363.552946824411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34965175) × cos(-0.93331429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595173902741245 × 6371000     		du = 363.524940817514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93325723)-sin(-0.93331429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595219755013135-0.595173902741245)×R²
    abs(-0.34965175--0.34974762)×4.58522718898013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58522718898013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58522718898013e-05×40589641000000     		ar = 132157.043264378m²