Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29117 / 45025
↖ ↑ ↗
← S 55.680681°
W 20.055542°		 ← 344.36 m → S 55.680681°
W 20.050049°		 →
↑
344.42 m
↓
↑
344.42 m
↓
S 55.683779°
W 20.055542°		 ← 344.34 m →
118 600 m²		 S 55.683779°
W 20.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444297790527344 y=0.687034606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444297790527344 × 216)
    floor (0.444297790527344 × 65536)
    floor (29117.5)     		tx = 29117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687034606933594 × 216)
    floor (0.687034606933594 × 65536)
    floor (45025.5)     		ty = 45025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29117 / 45025 ti = "16/29117/45025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29117/45025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29117 ÷ 216
    29117 ÷ 65536     		x = 0.444290161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45025 ÷ 216
    45025 ÷ 65536     		y = 0.687026977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444290161132812 × 2 - 1) × π
    -0.111419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35003524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687026977539062 × 2 - 1) × π
    -0.374053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17512515728606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35003524} λ = -0.35003524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17512515728606))-π/2
    2×atan(0.308780331161262)-π/2
    2×0.299492551529349-π/2
    0.598985103058698-1.57079632675     		φ = -0.97181122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35003524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.055542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97181122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.680681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29117 KachelY 45025 -0.35003524 -0.97181122 -20.055542 -55.680681
    Oben rechts KachelX + 1 29118 KachelY 45025 -0.34993937 -0.97181122 -20.050049 -55.680681
    Unten links KachelX 29117 KachelY + 1 45026 -0.35003524 -0.97186528 -20.055542 -55.683779
    Unten rechts KachelX + 1 29118 KachelY + 1 45026 -0.34993937 -0.97186528 -20.050049 -55.683779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97181122--0.97186528) × R
    5.40600000000779e-05 × 6371000     		dl = 344.416260000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97181122--0.97186528) × R
    5.40600000000779e-05 × 6371000     		dr = 344.416260000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35003524--0.34993937) × cos(-0.97181122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563804555238159 × 6371000     		do = 344.364927009749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35003524--0.34993937) × cos(-0.97186528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563759905814786 × 6371000     		du = 344.337655688016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97181122)-sin(-0.97186528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563804555238159-0.563759905814786)×R²
    abs(-0.34993937--0.35003524)×4.46494233723449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46494233723449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46494233723449e-05×40589641000000     		ar = 118600.183921737m²