Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29116 / 45028
↖ ↑ ↗
← S 55.689972°
W 20.061035°		 ← 344.28 m → S 55.689972°
W 20.055542°		 →
↑
344.29 m
↓
↑
344.29 m
↓
S 55.693068°
W 20.061035°		 ← 344.26 m →
118 528 m²		 S 55.693068°
W 20.055542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444282531738281 y=0.687080383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444282531738281 × 216)
    floor (0.444282531738281 × 65536)
    floor (29116.5)     		tx = 29116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687080383300781 × 216)
    floor (0.687080383300781 × 65536)
    floor (45028.5)     		ty = 45028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29116 / 45028 ti = "16/29116/45028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29116/45028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29116 ÷ 216
    29116 ÷ 65536     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45028 ÷ 216
    45028 ÷ 65536     		y = 0.68707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17541277868378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17541277868378))-π/2
    2×atan(0.308691532101692)-π/2
    2×0.299411480032642-π/2
    0.598822960065283-1.57079632675     		φ = -0.97197337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97197337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.689972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29116 KachelY 45028 -0.35013111 -0.97197337 -20.061035 -55.689972
    Oben rechts KachelX + 1 29117 KachelY 45028 -0.35003524 -0.97197337 -20.055542 -55.689972
    Unten links KachelX 29116 KachelY + 1 45029 -0.35013111 -0.97202741 -20.061035 -55.693068
    Unten rechts KachelX + 1 29117 KachelY + 1 45029 -0.35003524 -0.97202741 -20.055542 -55.693068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97197337--0.97202741) × R
    5.40400000000885e-05 × 6371000     		dl = 344.288840000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97197337--0.97202741) × R
    5.40400000000885e-05 × 6371000     		dr = 344.288840000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.35003524) × cos(-0.97197337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563670626805425 × 6371000     		do = 344.28312516098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.35003524) × cos(-0.97202741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563625988961223 × 6371000     		du = 344.255860911663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97197337)-sin(-0.97202741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563670626805425-0.563625988961223)×R²
    abs(-0.35003524--0.35013111)×4.46378442016115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46378442016115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46378442016115e-05×40589641000000     		ar = 118528.144433941m²