Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29115 / 45010
↖ ↑ ↗
← S 55.634198°
W 20.066528°		 ← 344.81 m → S 55.634198°
W 20.061035°		 →
↑
344.80 m
↓
↑
344.80 m
↓
S 55.637299°
W 20.066528°		 ← 344.78 m →
118 885 m²		 S 55.637299°
W 20.061035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444267272949219 y=0.686805725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444267272949219 × 216)
    floor (0.444267272949219 × 65536)
    floor (29115.5)     		tx = 29115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686805725097656 × 216)
    floor (0.686805725097656 × 65536)
    floor (45010.5)     		ty = 45010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29115 / 45010 ti = "16/29115/45010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29115/45010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29115 ÷ 216
    29115 ÷ 65536     		x = 0.444259643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45010 ÷ 216
    45010 ÷ 65536     		y = 0.686798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444259643554688 × 2 - 1) × π
    -0.111480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35022699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.37359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17368705029745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35022699} λ = -0.35022699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17368705029745))-π/2
    2×atan(0.309224709768852)-π/2
    2×0.299898197972678-π/2
    0.599796395945356-1.57079632675     		φ = -0.97099993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35022699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.066528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97099993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.634198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29115 KachelY 45010 -0.35022699 -0.97099993 -20.066528 -55.634198
    Oben rechts KachelX + 1 29116 KachelY 45010 -0.35013111 -0.97099993 -20.061035 -55.634198
    Unten links KachelX 29115 KachelY + 1 45011 -0.35022699 -0.97105405 -20.066528 -55.637299
    Unten rechts KachelX + 1 29116 KachelY + 1 45011 -0.35013111 -0.97105405 -20.061035 -55.637299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97099993--0.97105405) × R
    5.41200000000464e-05 × 6371000     		dl = 344.798520000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97099993--0.97105405) × R
    5.41200000000464e-05 × 6371000     		dr = 344.798520000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35022699--0.35013111) × cos(-0.97099993) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564474420716295 × 6371000     		do = 344.810035316665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35022699--0.35013111) × cos(-0.97105405) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.5644297465053 × 6371000     		du = 344.782746008761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97099993)-sin(-0.97105405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564474420716295-0.5644297465053)×R²
    abs(-0.35013111--0.35022699)×4.46742109954101e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46742109954101e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46742109954101e-05×40589641000000     		ar = 118885.285230978m²