Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29114 / 44324
↖ ↑ ↗
← S 53.448807°
W 20.072021°		 ← 363.75 m → S 53.448807°
W 20.066528°		 →
↑
363.78 m
↓
↑
363.78 m
↓
S 53.452078°
W 20.072021°		 ← 363.72 m →
132 321 m²		 S 53.452078°
W 20.066528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444252014160156 y=0.676338195800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444252014160156 × 216)
    floor (0.444252014160156 × 65536)
    floor (29114.5)     		tx = 29114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676338195800781 × 216)
    floor (0.676338195800781 × 65536)
    floor (44324.5)     		ty = 44324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29114 / 44324 ti = "16/29114/44324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29114/44324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29114 ÷ 216
    29114 ÷ 65536     		x = 0.444244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44324 ÷ 216
    44324 ÷ 65536     		y = 0.67633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.11151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35032286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.3526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10791762401874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35032286} λ = -0.35032286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10791762401874))-π/2
    2×atan(0.330245941767943)-π/2
    2×0.318969333136547-π/2
    0.637938666273093-1.57079632675     		φ = -0.93285766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35032286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.072021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93285766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.448807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29114 KachelY 44324 -0.35032286 -0.93285766 -20.072021 -53.448807
    Oben rechts KachelX + 1 29115 KachelY 44324 -0.35022699 -0.93285766 -20.066528 -53.448807
    Unten links KachelX 29114 KachelY + 1 44325 -0.35032286 -0.93291476 -20.072021 -53.452078
    Unten rechts KachelX + 1 29115 KachelY + 1 44325 -0.35022699 -0.93291476 -20.066528 -53.452078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93285766--0.93291476) × R
    5.70999999999211e-05 × 6371000     		dl = 363.784099999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93285766--0.93291476) × R
    5.70999999999211e-05 × 6371000     		dr = 363.784099999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35032286--0.35022699) × cos(-0.93285766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595540787144384 × 6371000     		do = 363.749029323955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35032286--0.35022699) × cos(-0.93291476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59549491631196 × 6371000     		du = 363.721011980511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93285766)-sin(-0.93291476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595540787144384-0.59549491631196)×R²
    abs(-0.35022699--0.35032286)×4.58708324235779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58708324235779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58708324235779e-05×40589641000000     		ar = 132321.01716254m²