Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29113 / 44318
↖ ↑ ↗
← S 53.429174°
W 20.077515°		 ← 363.96 m → S 53.429174°
W 20.072021°		 →
↑
363.91 m
↓
↑
363.91 m
↓
S 53.432447°
W 20.077515°		 ← 363.93 m →
132 442 m²		 S 53.432447°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444236755371094 y=0.676246643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444236755371094 × 216)
    floor (0.444236755371094 × 65536)
    floor (29113.5)     		tx = 29113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676246643066406 × 216)
    floor (0.676246643066406 × 65536)
    floor (44318.5)     		ty = 44318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29113 / 44318 ti = "16/29113/44318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29113/44318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29113 ÷ 216
    29113 ÷ 65536     		x = 0.444229125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44318 ÷ 216
    44318 ÷ 65536     		y = 0.676239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444229125976562 × 2 - 1) × π
    -0.111541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35041874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.35247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1073423812233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35041874} λ = -0.35041874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1073423812233))-π/2
    2×atan(0.330435968017044)-π/2
    2×0.319140662989982-π/2
    0.638281325979965-1.57079632675     		φ = -0.93251500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35041874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.077515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93251500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.429174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29113 KachelY 44318 -0.35041874 -0.93251500 -20.077515 -53.429174
    Oben rechts KachelX + 1 29114 KachelY 44318 -0.35032286 -0.93251500 -20.072021 -53.429174
    Unten links KachelX 29113 KachelY + 1 44319 -0.35041874 -0.93257212 -20.077515 -53.432447
    Unten rechts KachelX + 1 29114 KachelY + 1 44319 -0.35032286 -0.93257212 -20.072021 -53.432447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93251500--0.93257212) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dl = 363.911520000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93251500--0.93257212) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dr = 363.911520000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35041874--0.35032286) × cos(-0.93251500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.5958160195451 × 6371000     		do = 363.955097346805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35041874--0.35032286) × cos(-0.93257212) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595770144304104 × 6371000     		du = 363.927074387947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93251500)-sin(-0.93257212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5958160195451-0.595770144304104)×R²
    abs(-0.35032286--0.35041874)×4.5875240996196e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5875240996196e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5875240996196e-05×40589641000000     		ar = 132442.353784131m²