Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29112 / 44296
↖ ↑ ↗
← S 53.357109°
W 20.083008°		 ← 364.53 m → S 53.357109°
W 20.077515°		 →
↑
364.48 m
↓
↑
364.48 m
↓
S 53.360387°
W 20.083008°		 ← 364.51 m →
132 862 m²		 S 53.360387°
W 20.077515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444221496582031 y=0.675910949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444221496582031 × 216)
    floor (0.444221496582031 × 65536)
    floor (29112.5)     		tx = 29112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675910949707031 × 216)
    floor (0.675910949707031 × 65536)
    floor (44296.5)     		ty = 44296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29112 / 44296 ti = "16/29112/44296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29112/44296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29112 ÷ 216
    29112 ÷ 65536     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44296 ÷ 216
    44296 ÷ 65536     		y = 0.6759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10523315764001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10523315764001))-π/2
    2×atan(0.331133666896354)-π/2
    2×0.319769549928346-π/2
    0.639539099856693-1.57079632675     		φ = -0.93125723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93125723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.357109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29112 KachelY 44296 -0.35051461 -0.93125723 -20.083008 -53.357109
    Oben rechts KachelX + 1 29113 KachelY 44296 -0.35041874 -0.93125723 -20.077515 -53.357109
    Unten links KachelX 29112 KachelY + 1 44297 -0.35051461 -0.93131444 -20.083008 -53.360387
    Unten rechts KachelX + 1 29113 KachelY + 1 44297 -0.35041874 -0.93131444 -20.077515 -53.360387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93125723--0.93131444) × R
    5.72099999999187e-05 × 6371000     		dl = 364.484909999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93125723--0.93131444) × R
    5.72099999999187e-05 × 6371000     		dr = 364.484909999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35041874) × cos(-0.93125723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596825689438233 × 6371000     		do = 364.533831930683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35041874) × cos(-0.93131444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596779784821111 × 6371000     		du = 364.505793951958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93125723)-sin(-0.93131444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596825689438233-0.596779784821111)×R²
    abs(-0.35041874--0.35051461)×4.5904617121395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5904617121395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5904617121395e-05×40589641000000     		ar = 132861.971249289m²