Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29111 / 43854
↖ ↑ ↗
← S 51.883273°
W 20.088501°		 ← 377.02 m → S 51.883273°
W 20.083008°		 →
↑
377.04 m
↓
↑
377.04 m
↓
S 51.886664°
W 20.088501°		 ← 376.99 m →
142 144 m²		 S 51.886664°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444206237792969 y=0.669166564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444206237792969 × 216)
    floor (0.444206237792969 × 65536)
    floor (29111.5)     		tx = 29111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669166564941406 × 216)
    floor (0.669166564941406 × 65536)
    floor (43854.5)     		ty = 43854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29111 / 43854 ti = "16/29111/43854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29111/43854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29111 ÷ 216
    29111 ÷ 65536     		x = 0.444198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43854 ÷ 216
    43854 ÷ 65536     		y = 0.669158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444198608398438 × 2 - 1) × π
    -0.111602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35061048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.33831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06285693837589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35061048} λ = -0.35061048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06285693837589))-π/2
    2×atan(0.345467419987405)-π/2
    2×0.332631193436628-π/2
    0.665262386873256-1.57079632675     		φ = -0.90553394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35061048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.088501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90553394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.883273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29111 KachelY 43854 -0.35061048 -0.90553394 -20.088501 -51.883273
    Oben rechts KachelX + 1 29112 KachelY 43854 -0.35051461 -0.90553394 -20.083008 -51.883273
    Unten links KachelX 29111 KachelY + 1 43855 -0.35061048 -0.90559312 -20.088501 -51.886664
    Unten rechts KachelX + 1 29112 KachelY + 1 43855 -0.35051461 -0.90559312 -20.083008 -51.886664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90553394--0.90559312) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dl = 377.035780000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90553394--0.90559312) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dr = 377.035780000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35061048--0.35051461) × cos(-0.90553394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617265588057535 × 6371000     		do = 377.018272027392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35061048--0.35051461) × cos(-0.90559312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617219026824631 × 6371000     		du = 376.989832995778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90553394)-sin(-0.90559312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617265588057535-0.617219026824631)×R²
    abs(-0.35051461--0.35061048)×4.6561232904474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6561232904474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6561232904474e-05×40589641000000     		ar = 142144.017043608m²