Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29110 / 44334
↖ ↑ ↗
← S 53.481508°
W 20.093994°		 ← 363.51 m → S 53.481508°
W 20.088501°		 →
↑
363.47 m
↓
↑
363.47 m
↓
S 53.484777°
W 20.093994°		 ← 363.48 m →
132 117 m²		 S 53.484777°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444190979003906 y=0.676490783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444190979003906 × 216)
    floor (0.444190979003906 × 65536)
    floor (29110.5)     		tx = 29110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676490783691406 × 216)
    floor (0.676490783691406 × 65536)
    floor (44334.5)     		ty = 44334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29110 / 44334 ti = "16/29110/44334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29110/44334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29110 ÷ 216
    29110 ÷ 65536     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44334 ÷ 216
    44334 ÷ 65536     		y = 0.676483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.35296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10887636201114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10887636201114))-π/2
    2×atan(0.329929474165732)-π/2
    2×0.318683959271401-π/2
    0.637367918542802-1.57079632675     		φ = -0.93342841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93342841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.481508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29110 KachelY 44334 -0.35070636 -0.93342841 -20.093994 -53.481508
    Oben rechts KachelX + 1 29111 KachelY 44334 -0.35061048 -0.93342841 -20.088501 -53.481508
    Unten links KachelX 29110 KachelY + 1 44335 -0.35070636 -0.93348546 -20.093994 -53.484777
    Unten rechts KachelX + 1 29111 KachelY + 1 44335 -0.35061048 -0.93348546 -20.088501 -53.484777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93342841--0.93348546) × R
    5.70500000000029e-05 × 6371000     		dl = 363.465550000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93342841--0.93348546) × R
    5.70500000000029e-05 × 6371000     		dr = 363.465550000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.93342841) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595082192384235 × 6371000     		do = 363.506837939527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.93348546) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595036342336402 × 6371000     		du = 363.47883036995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93342841)-sin(-0.93348546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595082192384235-0.595036342336402)×R²
    abs(-0.35061048--0.35070636)×4.58500478334178e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58500478334178e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58500478334178e-05×40589641000000     		ar = 132117.122923117m²