Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29104 / 44894
↖ ↑ ↗
← S 55.272857°
W 20.126953°		 ← 347.95 m → S 55.272857°
W 20.121460°		 →
↑
347.92 m
↓
↑
347.92 m
↓
S 55.275986°
W 20.126953°		 ← 347.92 m →
121 053 m²		 S 55.275986°
W 20.121460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444099426269531 y=0.685035705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444099426269531 × 216)
    floor (0.444099426269531 × 65536)
    floor (29104.5)     		tx = 29104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685035705566406 × 216)
    floor (0.685035705566406 × 65536)
    floor (44894.5)     		ty = 44894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29104 / 44894 ti = "16/29104/44894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29104/44894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29104 ÷ 216
    29104 ÷ 65536     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44894 ÷ 216
    44894 ÷ 65536     		y = 0.685028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.37005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1625656895856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1625656895856))-π/2
    2×atan(0.312682903573846)-π/2
    2×0.303051490710934-π/2
    0.606102981421869-1.57079632675     		φ = -0.96469335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96469335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.272857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29104 KachelY 44894 -0.35128160 -0.96469335 -20.126953 -55.272857
    Oben rechts KachelX + 1 29105 KachelY 44894 -0.35118573 -0.96469335 -20.121460 -55.272857
    Unten links KachelX 29104 KachelY + 1 44895 -0.35128160 -0.96474796 -20.126953 -55.275986
    Unten rechts KachelX + 1 29105 KachelY + 1 44895 -0.35118573 -0.96474796 -20.121460 -55.275986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96469335--0.96474796) × R
    5.4609999999955e-05 × 6371000     		dl = 347.920309999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96469335--0.96474796) × R
    5.4609999999955e-05 × 6371000     		dr = 347.920309999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35118573) × cos(-0.96469335) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.569668930836461 × 6371000     		do = 347.94681590408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35118573) × cos(-0.96474796) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.569624047433364 × 6371000     		du = 347.919401670393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96469335)-sin(-0.96474796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569668930836461-0.569624047433364)×R²
    abs(-0.35118573--0.35128160)×4.48834030962741e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.48834030962741e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.48834030962741e-05×40589641000000     		ar = 121052.995098561m²