Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29100 / 44481
↖ ↑ ↗
← S 53.959317°
W 20.148926°		 ← 359.40 m → S 53.959317°
W 20.143433°		 →
↑
359.39 m
↓
↑
359.39 m
↓
S 53.962549°
W 20.148926°		 ← 359.37 m →
129 159 m²		 S 53.962549°
W 20.143433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444038391113281 y=0.678733825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444038391113281 × 216)
    floor (0.444038391113281 × 65536)
    floor (29100.5)     		tx = 29100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678733825683594 × 216)
    floor (0.678733825683594 × 65536)
    floor (44481.5)     		ty = 44481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29100 / 44481 ti = "16/29100/44481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29100/44481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29100 ÷ 216
    29100 ÷ 65536     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44481 ÷ 216
    44481 ÷ 65536     		y = 0.678726196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678726196289062 × 2 - 1) × π
    -0.357452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12296981049944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12296981049944))-π/2
    2×atan(0.325312242896984)-π/2
    2×0.314514286179728-π/2
    0.629028572359457-1.57079632675     		φ = -0.94176775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94176775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.959317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29100 KachelY 44481 -0.35166510 -0.94176775 -20.148926 -53.959317
    Oben rechts KachelX + 1 29101 KachelY 44481 -0.35156922 -0.94176775 -20.143433 -53.959317
    Unten links KachelX 29100 KachelY + 1 44482 -0.35166510 -0.94182416 -20.148926 -53.962549
    Unten rechts KachelX + 1 29101 KachelY + 1 44482 -0.35156922 -0.94182416 -20.143433 -53.962549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94176775--0.94182416) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dl = 359.388110000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94176775--0.94182416) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dr = 359.388110000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35156922) × cos(-0.94176775) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58835954341674 × 6371000     		do = 359.400297868212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35156922) × cos(-0.94182416) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.588313929386482 × 6371000     		du = 359.37243447032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94176775)-sin(-0.94182416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58835954341674-0.588313929386482)×R²
    abs(-0.35156922--0.35166510)×4.56140302584895e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56140302584895e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56140302584895e-05×40589641000000     		ar = 129159.186931826m²