Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29098 / 45016
↖ ↑ ↗
← S 55.652798°
W 20.159912°		 ← 344.61 m → S 55.652798°
W 20.154419°		 →
↑
344.61 m
↓
↑
344.61 m
↓
S 55.655897°
W 20.159912°		 ← 344.58 m →
118 751 m²		 S 55.655897°
W 20.154419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444007873535156 y=0.686897277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444007873535156 × 216)
    floor (0.444007873535156 × 65536)
    floor (29098.5)     		tx = 29098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686897277832031 × 216)
    floor (0.686897277832031 × 65536)
    floor (45016.5)     		ty = 45016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29098 / 45016 ti = "16/29098/45016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29098/45016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29098 ÷ 216
    29098 ÷ 65536     		x = 0.444000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45016 ÷ 216
    45016 ÷ 65536     		y = 0.6868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35185684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.373779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1742622930929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35185684} λ = -0.35185684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1742622930929))-π/2
    2×atan(0.309046881634465)-π/2
    2×0.299735881593625-π/2
    0.599471763187251-1.57079632675     		φ = -0.97132456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35185684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.159912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97132456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.652798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29098 KachelY 45016 -0.35185684 -0.97132456 -20.159912 -55.652798
    Oben rechts KachelX + 1 29099 KachelY 45016 -0.35176097 -0.97132456 -20.154419 -55.652798
    Unten links KachelX 29098 KachelY + 1 45017 -0.35185684 -0.97137865 -20.159912 -55.655897
    Unten rechts KachelX + 1 29099 KachelY + 1 45017 -0.35176097 -0.97137865 -20.154419 -55.655897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97132456--0.97137865) × R
    5.40900000000066e-05 × 6371000     		dl = 344.607390000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97132456--0.97137865) × R
    5.40900000000066e-05 × 6371000     		dr = 344.607390000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35185684--0.35176097) × cos(-0.97132456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564206424961978 × 6371000     		do = 344.610384122191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35185684--0.35176097) × cos(-0.97137865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56416176560642 × 6371000     		du = 344.583106734001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97132456)-sin(-0.97137865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564206424961978-0.56416176560642)×R²
    abs(-0.35176097--0.35185684)×4.46593555574193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46593555574193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46593555574193e-05×40589641000000     		ar = 118750.585073424m²