Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29097 / 44812
↖ ↑ ↗
← S 55.015426°
W 20.165405°		 ← 350.24 m → S 55.015426°
W 20.159912°		 →
↑
350.21 m
↓
↑
350.21 m
↓
S 55.018575°
W 20.165405°		 ← 350.21 m →
122 652 m²		 S 55.018575°
W 20.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443992614746094 y=0.683784484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443992614746094 × 216)
    floor (0.443992614746094 × 65536)
    floor (29097.5)     		tx = 29097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683784484863281 × 216)
    floor (0.683784484863281 × 65536)
    floor (44812.5)     		ty = 44812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29097 / 44812 ti = "16/29097/44812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29097/44812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29097 ÷ 216
    29097 ÷ 65536     		x = 0.443984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44812 ÷ 216
    44812 ÷ 65536     		y = 0.68377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443984985351562 × 2 - 1) × π
    -0.112030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35195272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.3675537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15470403804791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35195272} λ = -0.35195272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15470403804791))-π/2
    2×atan(0.315150795746909)-π/2
    2×0.305298002381949-π/2
    0.610596004763897-1.57079632675     		φ = -0.96020032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35195272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.165405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96020032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.015426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29097 KachelY 44812 -0.35195272 -0.96020032 -20.165405 -55.015426
    Oben rechts KachelX + 1 29098 KachelY 44812 -0.35185684 -0.96020032 -20.159912 -55.015426
    Unten links KachelX 29097 KachelY + 1 44813 -0.35195272 -0.96025529 -20.165405 -55.018575
    Unten rechts KachelX + 1 29098 KachelY + 1 44813 -0.35185684 -0.96025529 -20.159912 -55.018575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96020032--0.96025529) × R
    5.49699999999875e-05 × 6371000     		dl = 350.213869999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96020032--0.96025529) × R
    5.49699999999875e-05 × 6371000     		dr = 350.213869999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35195272--0.35185684) × cos(-0.96020032) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573355874111458 × 6371000     		do = 350.235284267651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35195272--0.35185684) × cos(-0.96025529) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573310835970252 × 6371000     		du = 350.207772652439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96020032)-sin(-0.96025529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573355874111458-0.573310835970252)×R²
    abs(-0.35185684--0.35195272)×4.5038141205489e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5038141205489e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5038141205489e-05×40589641000000     		ar = 122652.436869867m²