Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29097 / 44491
↖ ↑ ↗
← S 53.991625°
W 20.165405°		 ← 359.12 m → S 53.991625°
W 20.159912°		 →
↑
359.07 m
↓
↑
359.07 m
↓
S 53.994854°
W 20.165405°		 ← 359.09 m →
128 945 m²		 S 53.994854°
W 20.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443992614746094 y=0.678886413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443992614746094 × 216)
    floor (0.443992614746094 × 65536)
    floor (29097.5)     		tx = 29097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678886413574219 × 216)
    floor (0.678886413574219 × 65536)
    floor (44491.5)     		ty = 44491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29097 / 44491 ti = "16/29097/44491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29097/44491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29097 ÷ 216
    29097 ÷ 65536     		x = 0.443984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44491 ÷ 216
    44491 ÷ 65536     		y = 0.678878784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443984985351562 × 2 - 1) × π
    -0.112030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35195272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678878784179688 × 2 - 1) × π
    -0.357757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12392854849184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35195272} λ = -0.35195272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12392854849184))-π/2
    2×atan(0.325000503152572)-π/2
    2×0.314232354168565-π/2
    0.62846470833713-1.57079632675     		φ = -0.94233162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35195272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.165405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94233162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.991625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29097 KachelY 44491 -0.35195272 -0.94233162 -20.165405 -53.991625
    Oben rechts KachelX + 1 29098 KachelY 44491 -0.35185684 -0.94233162 -20.159912 -53.991625
    Unten links KachelX 29097 KachelY + 1 44492 -0.35195272 -0.94238798 -20.165405 -53.994854
    Unten rechts KachelX + 1 29098 KachelY + 1 44492 -0.35185684 -0.94238798 -20.159912 -53.994854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94233162--0.94238798) × R
    5.63599999999775e-05 × 6371000     		dl = 359.069559999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94233162--0.94238798) × R
    5.63599999999775e-05 × 6371000     		dr = 359.069559999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35195272--0.35185684) × cos(-0.94233162) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.587903504942731 × 6371000     		do = 359.121726091427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35195272--0.35185684) × cos(-0.94238798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.587857912654176 × 6371000     		du = 359.093875974486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94233162)-sin(-0.94238798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587903504942731-0.587857912654176)×R²
    abs(-0.35185684--0.35195272)×4.5592288555385e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5592288555385e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5592288555385e-05×40589641000000     		ar = 128944.680143658m²