Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29094 / 44910
↖ ↑ ↗
← S 55.322894°
W 20.181885°		 ← 347.54 m → S 55.322894°
W 20.176391°		 →
↑
347.47 m
↓
↑
347.47 m
↓
S 55.326019°
W 20.181885°		 ← 347.52 m →
120 758 m²		 S 55.326019°
W 20.176391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443946838378906 y=0.685279846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443946838378906 × 216)
    floor (0.443946838378906 × 65536)
    floor (29094.5)     		tx = 29094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685279846191406 × 216)
    floor (0.685279846191406 × 65536)
    floor (44910.5)     		ty = 44910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29094 / 44910 ti = "16/29094/44910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29094/44910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29094 ÷ 216
    29094 ÷ 65536     		x = 0.443939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44910 ÷ 216
    44910 ÷ 65536     		y = 0.685272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.37054443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16409967037344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35224034} λ = -0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16409967037344))-π/2
    2×atan(0.312203621705649)-π/2
    2×0.302614835477958-π/2
    0.605229670955916-1.57079632675     		φ = -0.96556666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96556666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.322894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29094 KachelY 44910 -0.35224034 -0.96556666 -20.181885 -55.322894
    Oben rechts KachelX + 1 29095 KachelY 44910 -0.35214446 -0.96556666 -20.176391 -55.322894
    Unten links KachelX 29094 KachelY + 1 44911 -0.35224034 -0.96562120 -20.181885 -55.326019
    Unten rechts KachelX + 1 29095 KachelY + 1 44911 -0.35214446 -0.96562120 -20.176391 -55.326019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96556666--0.96562120) × R
    5.45399999999363e-05 × 6371000     		dl = 347.474339999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96556666--0.96562120) × R
    5.45399999999363e-05 × 6371000     		dr = 347.474339999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35224034--0.35214446) × cos(-0.96556666) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568950962677598 × 6371000     		do = 347.544537599009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35224034--0.35214446) × cos(-0.96562120) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568906109692524 × 6371000     		du = 347.517139086694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96556666)-sin(-0.96562120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568950962677598-0.568906109692524)×R²
    abs(-0.35214446--0.35224034)×4.48529850745061e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48529850745061e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48529850745061e-05×40589641000000     		ar = 120758.048712683m²