Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29094 / 43754
↖ ↑ ↗
← S 51.542919°
W 20.181885°		 ← 379.91 m → S 51.542919°
W 20.176391°		 →
↑
379.84 m
↓
↑
379.84 m
↓
S 51.546335°
W 20.181885°		 ← 379.88 m →
144 298 m²		 S 51.546335°
W 20.176391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443946838378906 y=0.667640686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443946838378906 × 216)
    floor (0.443946838378906 × 65536)
    floor (29094.5)     		tx = 29094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667640686035156 × 216)
    floor (0.667640686035156 × 65536)
    floor (43754.5)     		ty = 43754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29094 / 43754 ti = "16/29094/43754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29094/43754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29094 ÷ 216
    29094 ÷ 65536     		x = 0.443939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43754 ÷ 216
    43754 ÷ 65536     		y = 0.667633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.33526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05326955845187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35224034} λ = -0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05326955845187))-π/2
    2×atan(0.348795475568553)-π/2
    2×0.335601343637518-π/2
    0.671202687275037-1.57079632675     		φ = -0.89959364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89959364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.542919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29094 KachelY 43754 -0.35224034 -0.89959364 -20.181885 -51.542919
    Oben rechts KachelX + 1 29095 KachelY 43754 -0.35214446 -0.89959364 -20.176391 -51.542919
    Unten links KachelX 29094 KachelY + 1 43755 -0.35224034 -0.89965326 -20.181885 -51.546335
    Unten rechts KachelX + 1 29095 KachelY + 1 43755 -0.35214446 -0.89965326 -20.176391 -51.546335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89959364--0.89965326) × R
    5.9620000000038e-05 × 6371000     		dl = 379.839020000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89959364--0.89965326) × R
    5.9620000000038e-05 × 6371000     		dr = 379.839020000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35224034--0.35214446) × cos(-0.89959364) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621928229662156 × 6371000     		do = 379.905779542879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35224034--0.35214446) × cos(-0.89965326) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62188154167021 × 6371000     		du = 379.8772601139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89959364)-sin(-0.89965326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621928229662156-0.62188154167021)×R²
    abs(-0.35214446--0.35224034)×4.66879919460705e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66879919460705e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66879919460705e-05×40589641000000     		ar = 144297.622641172m²