Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29093 / 44947
↖ ↑ ↗
← S 55.438363°
W 20.187378°		 ← 346.50 m → S 55.438363°
W 20.181885°		 →
↑
346.52 m
↓
↑
346.52 m
↓
S 55.441480°
W 20.187378°		 ← 346.47 m →
120 062 m²		 S 55.441480°
W 20.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443931579589844 y=0.685844421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443931579589844 × 216)
    floor (0.443931579589844 × 65536)
    floor (29093.5)     		tx = 29093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685844421386719 × 216)
    floor (0.685844421386719 × 65536)
    floor (44947.5)     		ty = 44947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29093 / 44947 ti = "16/29093/44947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29093/44947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29093 ÷ 216
    29093 ÷ 65536     		x = 0.443923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44947 ÷ 216
    44947 ÷ 65536     		y = 0.685836791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443923950195312 × 2 - 1) × π
    -0.112152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35233621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685836791992188 × 2 - 1) × π
    -0.371673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16764700094533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35233621} λ = -0.35233621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16764700094533))-π/2
    2×atan(0.311098094248681)-π/2
    2×0.301607178079051-π/2
    0.603214356158102-1.57079632675     		φ = -0.96758197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35233621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.187378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96758197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.438363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29093 KachelY 44947 -0.35233621 -0.96758197 -20.187378 -55.438363
    Oben rechts KachelX + 1 29094 KachelY 44947 -0.35224034 -0.96758197 -20.181885 -55.438363
    Unten links KachelX 29093 KachelY + 1 44948 -0.35233621 -0.96763636 -20.187378 -55.441480
    Unten rechts KachelX + 1 29094 KachelY + 1 44948 -0.35224034 -0.96763636 -20.181885 -55.441480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96758197--0.96763636) × R
    5.43899999999597e-05 × 6371000     		dl = 346.518689999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96758197--0.96763636) × R
    5.43899999999597e-05 × 6371000     		dr = 346.518689999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35233621--0.35224034) × cos(-0.96758197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567292475002716 × 6371000     		do = 346.495305744682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35233621--0.35224034) × cos(-0.96763636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567247683107078 × 6371000     		du = 346.467947402631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96758197)-sin(-0.96763636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567292475002716-0.567247683107078)×R²
    abs(-0.35224034--0.35233621)×4.47918956386628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47918956386628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47918956386628e-05×40589641000000     		ar = 120062.359379098m²