Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29090 / 43836
↖ ↑ ↗
← S 51.822198°
W 20.203857°		 ← 377.53 m → S 51.822198°
W 20.198364°		 →
↑
377.55 m
↓
↑
377.55 m
↓
S 51.825593°
W 20.203857°		 ← 377.50 m →
142 529 m²		 S 51.825593°
W 20.198364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443885803222656 y=0.668891906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443885803222656 × 216)
    floor (0.443885803222656 × 65536)
    floor (29090.5)     		tx = 29090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668891906738281 × 216)
    floor (0.668891906738281 × 65536)
    floor (43836.5)     		ty = 43836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29090 / 43836 ti = "16/29090/43836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29090/43836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29090 ÷ 216
    29090 ÷ 65536     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43836 ÷ 216
    43836 ÷ 65536     		y = 0.66888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.3377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06113120998956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06113120998956))-π/2
    2×atan(0.34606411764158)-π/2
    2×0.333164171446412-π/2
    0.666328342892823-1.57079632675     		φ = -0.90446798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90446798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.822198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29090 KachelY 43836 -0.35262383 -0.90446798 -20.203857 -51.822198
    Oben rechts KachelX + 1 29091 KachelY 43836 -0.35252796 -0.90446798 -20.198364 -51.822198
    Unten links KachelX 29090 KachelY + 1 43837 -0.35262383 -0.90452724 -20.203857 -51.825593
    Unten rechts KachelX + 1 29091 KachelY + 1 43837 -0.35252796 -0.90452724 -20.198364 -51.825593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90446798--0.90452724) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dl = 377.545460000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90446798--0.90452724) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dr = 377.545460000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35252796) × cos(-0.90446798) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.61810388640811 × 6371000     		do = 377.530294407753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35252796) × cos(-0.90452724) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		du = 377.501840762197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90446798)-sin(-0.90452724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61810388640811-0.618057301248822)×R²
    abs(-0.35252796--0.35262383)×4.65851592877931e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.65851592877931e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.65851592877931e-05×40589641000000     		ar = 142529.477435381m²