Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29086 / 43778
↖ ↑ ↗
← S 51.624837°
W 20.225830°		 ← 379.18 m → S 51.624837°
W 20.220337°		 →
↑
379.20 m
↓
↑
379.20 m
↓
S 51.628248°
W 20.225830°		 ← 379.15 m →
143 781 m²		 S 51.628248°
W 20.220337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443824768066406 y=0.668006896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443824768066406 × 216)
    floor (0.443824768066406 × 65536)
    floor (29086.5)     		tx = 29086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668006896972656 × 216)
    floor (0.668006896972656 × 65536)
    floor (43778.5)     		ty = 43778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29086 / 43778 ti = "16/29086/43778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29086/43778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29086 ÷ 216
    29086 ÷ 65536     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43778 ÷ 216
    43778 ÷ 65536     		y = 0.667999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.33599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05557052963364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05557052963364))-π/2
    2×atan(0.347993829866461)-π/2
    2×0.334886468649648-π/2
    0.669772937299296-1.57079632675     		φ = -0.90102339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90102339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.624837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29086 KachelY 43778 -0.35300733 -0.90102339 -20.225830 -51.624837
    Oben rechts KachelX + 1 29087 KachelY 43778 -0.35291146 -0.90102339 -20.220337 -51.624837
    Unten links KachelX 29086 KachelY + 1 43779 -0.35300733 -0.90108291 -20.225830 -51.628248
    Unten rechts KachelX + 1 29087 KachelY + 1 43779 -0.35291146 -0.90108291 -20.220337 -51.628248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90102339--0.90108291) × R
    5.95199999999796e-05 × 6371000     		dl = 379.20191999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90102339--0.90108291) × R
    5.95199999999796e-05 × 6371000     		dr = 379.20191999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35291146) × cos(-0.90102339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6208079939701 × 6371000     		do = 379.181930235163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35291146) × cos(-0.90108291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620761331413628 × 6371000     		du = 379.153429316353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90102339)-sin(-0.90108291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6208079939701-0.620761331413628)×R²
    abs(-0.35291146--0.35300733)×4.66625564722323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66625564722323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66625564722323e-05×40589641000000     		ar = 143781.112215417m²