Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29083 / 43779
↖ ↑ ↗
← S 51.628248°
W 20.242310°		 ← 379.15 m → S 51.628248°
W 20.236817°		 →
↑
379.14 m
↓
↑
379.14 m
↓
S 51.631657°
W 20.242310°		 ← 379.12 m →
143 746 m²		 S 51.631657°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443778991699219 y=0.668022155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443778991699219 × 216)
    floor (0.443778991699219 × 65536)
    floor (29083.5)     		tx = 29083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668022155761719 × 216)
    floor (0.668022155761719 × 65536)
    floor (43779.5)     		ty = 43779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29083 / 43779 ti = "16/29083/43779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29083/43779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29083 ÷ 216
    29083 ÷ 65536     		x = 0.443771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43779 ÷ 216
    43779 ÷ 65536     		y = 0.668014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443771362304688 × 2 - 1) × π
    -0.112457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35329495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668014526367188 × 2 - 1) × π
    -0.336029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05566640343288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35329495} λ = -0.35329495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05566640343288))-π/2
    2×atan(0.347960467975171)-π/2
    2×0.334856710157516-π/2
    0.669713420315032-1.57079632675     		φ = -0.90108291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35329495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90108291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.628248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29083 KachelY 43779 -0.35329495 -0.90108291 -20.242310 -51.628248
    Oben rechts KachelX + 1 29084 KachelY 43779 -0.35319908 -0.90108291 -20.236817 -51.628248
    Unten links KachelX 29083 KachelY + 1 43780 -0.35329495 -0.90114242 -20.242310 -51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 29084 KachelY + 1 43780 -0.35319908 -0.90114242 -20.236817 -51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90108291--0.90114242) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dl = 379.138210000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90108291--0.90114242) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dr = 379.138210000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35329495--0.35319908) × cos(-0.90108291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620761331413628 × 6371000     		do = 379.153429316353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35329495--0.35319908) × cos(-0.90114242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 379.124931843141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90108291)-sin(-0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620761331413628-0.620714674498393)×R²
    abs(-0.35319908--0.35329495)×4.66569152348661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66569152348661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66569152348661e-05×40589641000000     		ar = 143746.150308272m²