Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29078 / 44811
↖ ↑ ↗
← S 55.012276°
W 20.269775°		 ← 350.23 m → S 55.012276°
W 20.264282°		 →
↑
350.21 m
↓
↑
350.21 m
↓
S 55.015426°
W 20.269775°		 ← 350.20 m →
122 649 m²		 S 55.015426°
W 20.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443702697753906 y=0.683769226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443702697753906 × 216)
    floor (0.443702697753906 × 65536)
    floor (29078.5)     		tx = 29078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683769226074219 × 216)
    floor (0.683769226074219 × 65536)
    floor (44811.5)     		ty = 44811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29078 / 44811 ti = "16/29078/44811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29078/44811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29078 ÷ 216
    29078 ÷ 65536     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44811 ÷ 216
    44811 ÷ 65536     		y = 0.683761596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683761596679688 × 2 - 1) × π
    -0.367523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15460816424867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15460816424867))-π/2
    2×atan(0.315181011899476)-π/2
    2×0.305325488364337-π/2
    0.610650976728674-1.57079632675     		φ = -0.96014535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96014535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.012276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29078 KachelY 44811 -0.35377432 -0.96014535 -20.269775 -55.012276
    Oben rechts KachelX + 1 29079 KachelY 44811 -0.35367845 -0.96014535 -20.264282 -55.012276
    Unten links KachelX 29078 KachelY + 1 44812 -0.35377432 -0.96020032 -20.269775 -55.015426
    Unten rechts KachelX + 1 29079 KachelY + 1 44812 -0.35367845 -0.96020032 -20.264282 -55.015426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96014535--0.96020032) × R
    5.49699999999875e-05 × 6371000     		dl = 350.213869999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96014535--0.96020032) × R
    5.49699999999875e-05 × 6371000     		dr = 350.213869999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(-0.96014535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573400910520153 × 6371000     		do = 350.226263452566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(-0.96020032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573355874111458 × 6371000     		du = 350.19875576493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96014535)-sin(-0.96020032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573400910520153-0.573355874111458)×R²
    abs(-0.35367845--0.35377432)×4.50364086954647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50364086954647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50364086954647e-05×40589641000000     		ar = 122649.278343384m²