Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29078 / 44471
↖ ↑ ↗
← S 53.926985°
W 20.269775°		 ← 359.64 m → S 53.926985°
W 20.264282°		 →
↑
359.64 m
↓
↑
359.64 m
↓
S 53.930220°
W 20.269775°		 ← 359.61 m →
129 338 m²		 S 53.930220°
W 20.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443702697753906 y=0.678581237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443702697753906 × 216)
    floor (0.443702697753906 × 65536)
    floor (29078.5)     		tx = 29078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678581237792969 × 216)
    floor (0.678581237792969 × 65536)
    floor (44471.5)     		ty = 44471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29078 / 44471 ti = "16/29078/44471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29078/44471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29078 ÷ 216
    29078 ÷ 65536     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44471 ÷ 216
    44471 ÷ 65536     		y = 0.678573608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.357147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12201107250703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12201107250703))-π/2
    2×atan(0.32562428166145)-π/2
    2×0.314796436839179-π/2
    0.629592873678358-1.57079632675     		φ = -0.94120345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94120345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.926985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29078 KachelY 44471 -0.35377432 -0.94120345 -20.269775 -53.926985
    Oben rechts KachelX + 1 29079 KachelY 44471 -0.35367845 -0.94120345 -20.264282 -53.926985
    Unten links KachelX 29078 KachelY + 1 44472 -0.35377432 -0.94125990 -20.269775 -53.930220
    Unten rechts KachelX + 1 29079 KachelY + 1 44472 -0.35367845 -0.94125990 -20.264282 -53.930220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94120345--0.94125990) × R
    5.64499999999857e-05 × 6371000     		dl = 359.642949999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94120345--0.94125990) × R
    5.64499999999857e-05 × 6371000     		dr = 359.642949999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(-0.94120345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588815742377195 × 6371000     		do = 359.641454227454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(-0.94125990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588770114750208 × 6371000     		du = 359.613585430916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94120345)-sin(-0.94125990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588815742377195-0.588770114750208)×R²
    abs(-0.35367845--0.35377432)×4.56276269868994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56276269868994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56276269868994e-05×40589641000000     		ar = 129337.502167013m²