Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29077 / 44317
↖ ↑ ↗
← S 53.425901°
W 20.275268°		 ← 363.95 m → S 53.425901°
W 20.269775°		 →
↑
363.91 m
↓
↑
363.91 m
↓
S 53.429174°
W 20.275268°		 ← 363.92 m →
132 439 m²		 S 53.429174°
W 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443687438964844 y=0.676231384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443687438964844 × 216)
    floor (0.443687438964844 × 65536)
    floor (29077.5)     		tx = 29077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676231384277344 × 216)
    floor (0.676231384277344 × 65536)
    floor (44317.5)     		ty = 44317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29077 / 44317 ti = "16/29077/44317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29077/44317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29077 ÷ 216
    29077 ÷ 65536     		x = 0.443679809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44317 ÷ 216
    44317 ÷ 65536     		y = 0.676223754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443679809570312 × 2 - 1) × π
    -0.112640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35387019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676223754882812 × 2 - 1) × π
    -0.352447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10724650742406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35387019} λ = -0.35387019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10724650742406))-π/2
    2×atan(0.3304676496874)-π/2
    2×0.31916922566228-π/2
    0.63833845132456-1.57079632675     		φ = -0.93245788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35387019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.275268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93245788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.425901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29077 KachelY 44317 -0.35387019 -0.93245788 -20.275268 -53.425901
    Oben rechts KachelX + 1 29078 KachelY 44317 -0.35377432 -0.93245788 -20.269775 -53.425901
    Unten links KachelX 29077 KachelY + 1 44318 -0.35387019 -0.93251500 -20.275268 -53.429174
    Unten rechts KachelX + 1 29078 KachelY + 1 44318 -0.35377432 -0.93251500 -20.269775 -53.429174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93245788--0.93251500) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dl = 363.911520000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93245788--0.93251500) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dr = 363.911520000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35387019--0.35377432) × cos(-0.93245788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595861892842131 × 6371000     		do = 363.945156757016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35387019--0.35377432) × cos(-0.93251500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5958160195451 × 6371000     		du = 363.91713790822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93245788)-sin(-0.93251500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595861892842131-0.5958160195451)×R²
    abs(-0.35377432--0.35387019)×4.58732970305409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58732970305409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58732970305409e-05×40589641000000     		ar = 132438.7370374m²