Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29072 / 45712
↖ ↑ ↗
← S 57.751076°
W 20.302734°		 ← 325.92 m → S 57.751076°
W 20.297241°		 →
↑
325.94 m
↓
↑
325.94 m
↓
S 57.754007°
W 20.302734°		 ← 325.89 m →
106 225 m²		 S 57.754007°
W 20.297241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443611145019531 y=0.697517395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443611145019531 × 216)
    floor (0.443611145019531 × 65536)
    floor (29072.5)     		tx = 29072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.697517395019531 × 216)
    floor (0.697517395019531 × 65536)
    floor (45712.5)     		ty = 45712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29072 / 45712 ti = "16/29072/45712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29072/45712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29072 ÷ 216
    29072 ÷ 65536     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45712 ÷ 216
    45712 ÷ 65536     		y = 0.697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.39501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.24099045736401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24099045736401))-π/2
    2×atan(0.289097737106309)-π/2
    2×0.281424952185178-π/2
    0.562849904370356-1.57079632675     		φ = -1.00794642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00794642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.751076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29072 KachelY 45712 -0.35434956 -1.00794642 -20.302734 -57.751076
    Oben rechts KachelX + 1 29073 KachelY 45712 -0.35425369 -1.00794642 -20.297241 -57.751076
    Unten links KachelX 29072 KachelY + 1 45713 -0.35434956 -1.00799758 -20.302734 -57.754007
    Unten rechts KachelX + 1 29073 KachelY + 1 45713 -0.35425369 -1.00799758 -20.297241 -57.754007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00794642--1.00799758) × R
    5.11600000001611e-05 × 6371000     		dl = 325.940360001026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00794642--1.00799758) × R
    5.11600000001611e-05 × 6371000     		dr = 325.940360001026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35425369) × cos(-1.00794642) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533598635612837 × 6371000     		do = 325.915520721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35425369) × cos(-1.00799758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533555366966593 × 6371000     		du = 325.88909276105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00794642)-sin(-1.00799758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533598635612837-0.533555366966593)×R²
    abs(-0.35425369--0.35434956)×4.32686462441545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32686462441545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32686462441545e-05×40589641000000     		ar = 106224.715207552m²