Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29070 / 44302
↖ ↑ ↗
← S 53.376775°
W 20.313721°		 ← 364.37 m → S 53.376775°
W 20.308228°		 →
↑
364.36 m
↓
↑
364.36 m
↓
S 53.380052°
W 20.313721°		 ← 364.34 m →
132 754 m²		 S 53.380052°
W 20.308228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443580627441406 y=0.676002502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443580627441406 × 216)
    floor (0.443580627441406 × 65536)
    floor (29070.5)     		tx = 29070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676002502441406 × 216)
    floor (0.676002502441406 × 65536)
    floor (44302.5)     		ty = 44302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29070 / 44302 ti = "16/29070/44302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29070/44302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29070 ÷ 216
    29070 ÷ 65536     		x = 0.443572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44302 ÷ 216
    44302 ÷ 65536     		y = 0.675994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.11285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35454131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.35198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10580840043546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35454131} λ = -0.35454131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10580840043546))-π/2
    2×atan(0.330943239416413)-π/2
    2×0.319597929701418-π/2
    0.639195859402837-1.57079632675     		φ = -0.93160047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35454131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93160047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.376775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29070 KachelY 44302 -0.35454131 -0.93160047 -20.313721 -53.376775
    Oben rechts KachelX + 1 29071 KachelY 44302 -0.35444544 -0.93160047 -20.308228 -53.376775
    Unten links KachelX 29070 KachelY + 1 44303 -0.35454131 -0.93165766 -20.313721 -53.380052
    Unten rechts KachelX + 1 29071 KachelY + 1 44303 -0.35444544 -0.93165766 -20.308228 -53.380052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93160047--0.93165766) × R
    5.71900000000403e-05 × 6371000     		dl = 364.357490000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93160047--0.93165766) × R
    5.71900000000403e-05 × 6371000     		dr = 364.357490000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35454131--0.35444544) × cos(-0.93160047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596550248491262 × 6371000     		do = 364.365595968916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35454131--0.35444544) × cos(-0.93165766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59650434820977 × 6371000     		du = 364.337560638341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93160047)-sin(-0.93165766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596550248491262-0.59650434820977)×R²
    abs(-0.35444544--0.35454131)×4.59002814925391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59002814925391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59002814925391e-05×40589641000000     		ar = 132754.226584636m²