Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29070 / 44299
↖ ↑ ↗
← S 53.366943°
W 20.313721°		 ← 364.45 m → S 53.366943°
W 20.308228°		 →
↑
364.42 m
↓
↑
364.42 m
↓
S 53.370220°
W 20.313721°		 ← 364.42 m →
132 808 m²		 S 53.370220°
W 20.308228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443580627441406 y=0.675956726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443580627441406 × 216)
    floor (0.443580627441406 × 65536)
    floor (29070.5)     		tx = 29070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675956726074219 × 216)
    floor (0.675956726074219 × 65536)
    floor (44299.5)     		ty = 44299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29070 / 44299 ti = "16/29070/44299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29070/44299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29070 ÷ 216
    29070 ÷ 65536     		x = 0.443572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44299 ÷ 216
    44299 ÷ 65536     		y = 0.675949096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.11285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35454131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675949096679688 × 2 - 1) × π
    -0.351898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10552077903774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35454131} λ = -0.35454131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10552077903774))-π/2
    2×atan(0.331038439463629)-π/2
    2×0.31968372991203-π/2
    0.639367459824061-1.57079632675     		φ = -0.93142887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35454131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93142887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.366943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29070 KachelY 44299 -0.35454131 -0.93142887 -20.313721 -53.366943
    Oben rechts KachelX + 1 29071 KachelY 44299 -0.35444544 -0.93142887 -20.308228 -53.366943
    Unten links KachelX 29070 KachelY + 1 44300 -0.35454131 -0.93148607 -20.313721 -53.370220
    Unten rechts KachelX + 1 29071 KachelY + 1 44300 -0.35444544 -0.93148607 -20.308228 -53.370220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93142887--0.93148607) × R
    5.72000000000905e-05 × 6371000     		dl = 364.421200000577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93142887--0.93148607) × R
    5.72000000000905e-05 × 6371000     		dr = 364.421200000577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35454131--0.35444544) × cos(-0.93142887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596687961702533 × 6371000     		do = 364.449709514127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35454131--0.35444544) × cos(-0.93148607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596642059250843 × 6371000     		du = 364.421672858022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93142887)-sin(-0.93148607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596687961702533-0.596642059250843)×R²
    abs(-0.35444544--0.35454131)×4.59024516895612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59024516895612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59024516895612e-05×40589641000000     		ar = 132808.091941066m²