Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29069 / 44568
↖ ↑ ↗
← S 54.239550°
W 20.319214°		 ← 356.94 m → S 54.239550°
W 20.313721°		 →
↑
356.97 m
↓
↑
356.97 m
↓
S 54.242761°
W 20.319214°		 ← 356.92 m →
127 412 m²		 S 54.242761°
W 20.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443565368652344 y=0.680061340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443565368652344 × 216)
    floor (0.443565368652344 × 65536)
    floor (29069.5)     		tx = 29069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680061340332031 × 216)
    floor (0.680061340332031 × 65536)
    floor (44568.5)     		ty = 44568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29069 / 44568 ti = "16/29069/44568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29069/44568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29069 ÷ 216
    29069 ÷ 65536     		x = 0.443557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44568 ÷ 216
    44568 ÷ 65536     		y = 0.6800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443557739257812 × 2 - 1) × π
    -0.112884521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35463718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35463718} λ = -0.35463718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13131083103333))-π/2
    2×atan(0.322610091814182)-π/2
    2×0.3120687926181-π/2
    0.6241375852362-1.57079632675     		φ = -0.94665874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35463718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.319214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94665874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.239550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29069 KachelY 44568 -0.35463718 -0.94665874 -20.319214 -54.239550
    Oben rechts KachelX + 1 29070 KachelY 44568 -0.35454131 -0.94665874 -20.313721 -54.239550
    Unten links KachelX 29069 KachelY + 1 44569 -0.35463718 -0.94671477 -20.319214 -54.242761
    Unten rechts KachelX + 1 29070 KachelY + 1 44569 -0.35454131 -0.94671477 -20.313721 -54.242761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94665874--0.94671477) × R
    5.60299999999847e-05 × 6371000     		dl = 356.967129999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94665874--0.94671477) × R
    5.60299999999847e-05 × 6371000     		dr = 356.967129999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35463718--0.35454131) × cos(-0.94665874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584397670139097 × 6371000     		do = 356.942949737447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35463718--0.35454131) × cos(-0.94671477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584352202702626 × 6371000     		du = 356.915178783317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94665874)-sin(-0.94671477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584397670139097-0.584352202702626)×R²
    abs(-0.35454131--0.35463718)×4.54674364709362e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54674364709362e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54674364709362e-05×40589641000000     		ar = 127411.943716038m²