Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29068 / 44446
↖ ↑ ↗
← S 53.846046°
W 20.324707°		 ← 360.38 m → S 53.846046°
W 20.319214°		 →
↑
360.28 m
↓
↑
360.28 m
↓
S 53.849286°
W 20.324707°		 ← 360.35 m →
129 831 m²		 S 53.849286°
W 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443550109863281 y=0.678199768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443550109863281 × 216)
    floor (0.443550109863281 × 65536)
    floor (29068.5)     		tx = 29068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678199768066406 × 216)
    floor (0.678199768066406 × 65536)
    floor (44446.5)     		ty = 44446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29068 / 44446 ti = "16/29068/44446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29068/44446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29068 ÷ 216
    29068 ÷ 65536     		x = 0.44354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44446 ÷ 216
    44446 ÷ 65536     		y = 0.678192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.35638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11961422752603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35473306} λ = -0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11961422752603))-π/2
    2×atan(0.326405688668285)-π/2
    2×0.315502770596248-π/2
    0.631005541192495-1.57079632675     		φ = -0.93979079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93979079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.846046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29068 KachelY 44446 -0.35473306 -0.93979079 -20.324707 -53.846046
    Oben rechts KachelX + 1 29069 KachelY 44446 -0.35463718 -0.93979079 -20.319214 -53.846046
    Unten links KachelX 29068 KachelY + 1 44447 -0.35473306 -0.93984734 -20.324707 -53.849286
    Unten rechts KachelX + 1 29069 KachelY + 1 44447 -0.35463718 -0.93984734 -20.319214 -53.849286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93979079--0.93984734) × R
    5.65500000000441e-05 × 6371000     		dl = 360.280050000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93979079--0.93984734) × R
    5.65500000000441e-05 × 6371000     		dr = 360.280050000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35473306--0.35463718) × cos(-0.93979079) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.589956961352887 × 6371000     		do = 360.376082978686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35473306--0.35463718) × cos(-0.93984734) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.5899112999777 × 6371000     		du = 360.348190660074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93979079)-sin(-0.93984734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589956961352887-0.5899112999777)×R²
    abs(-0.35463718--0.35473306)×4.56613751874668e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56613751874668e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56613751874668e-05×40589641000000     		ar = 129831.28870625m²