Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29065 / 44463
↖ ↑ ↗
← S 53.901102°
W 20.341187°		 ← 359.90 m → S 53.901102°
W 20.335693°		 →
↑
359.83 m
↓
↑
359.83 m
↓
S 53.904338°
W 20.341187°		 ← 359.87 m →
129 500 m²		 S 53.904338°
W 20.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443504333496094 y=0.678459167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443504333496094 × 216)
    floor (0.443504333496094 × 65536)
    floor (29065.5)     		tx = 29065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678459167480469 × 216)
    floor (0.678459167480469 × 65536)
    floor (44463.5)     		ty = 44463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29065 / 44463 ti = "16/29065/44463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29065/44463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29065 ÷ 216
    29065 ÷ 65536     		x = 0.443496704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44463 ÷ 216
    44463 ÷ 65536     		y = 0.678451538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443496704101562 × 2 - 1) × π
    -0.113006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35502068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678451538085938 × 2 - 1) × π
    -0.356903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12124408211311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35502068} λ = -0.35502068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12124408211311))-π/2
    2×atan(0.325874128160196)-π/2
    2×0.31502231484704-π/2
    0.63004462969408-1.57079632675     		φ = -0.94075170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35502068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.341187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94075170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.901102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29065 KachelY 44463 -0.35502068 -0.94075170 -20.341187 -53.901102
    Oben rechts KachelX + 1 29066 KachelY 44463 -0.35492480 -0.94075170 -20.335693 -53.901102
    Unten links KachelX 29065 KachelY + 1 44464 -0.35502068 -0.94080818 -20.341187 -53.904338
    Unten rechts KachelX + 1 29066 KachelY + 1 44464 -0.35492480 -0.94080818 -20.335693 -53.904338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94075170--0.94080818) × R
    5.64800000000254e-05 × 6371000     		dl = 359.834080000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94075170--0.94080818) × R
    5.64800000000254e-05 × 6371000     		dr = 359.834080000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35502068--0.35492480) × cos(-0.94075170) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.589180817033486 × 6371000     		do = 359.901974072486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35502068--0.35492480) × cos(-0.94080818) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.589135180185098 × 6371000     		du = 359.874096736106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94075170)-sin(-0.94080818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589180817033486-0.589135180185098)×R²
    abs(-0.35492480--0.35502068)×4.56368483884306e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.56368483884306e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.56368483884306e-05×40589641000000     		ar = 129499.980157198m²