Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29064 / 43703
↖ ↑ ↗
← S 51.368351°
W 20.346680°		 ← 381.32 m → S 51.368351°
W 20.341187°		 →
↑
381.30 m
↓
↑
381.30 m
↓
S 51.371780°
W 20.346680°		 ← 381.29 m →
145 394 m²		 S 51.371780°
W 20.341187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443489074707031 y=0.666862487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443489074707031 × 216)
    floor (0.443489074707031 × 65536)
    floor (29064.5)     		tx = 29064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666862487792969 × 216)
    floor (0.666862487792969 × 65536)
    floor (43703.5)     		ty = 43703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29064 / 43703 ti = "16/29064/43703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29064/43703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29064 ÷ 216
    29064 ÷ 65536     		x = 0.4434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43703 ÷ 216
    43703 ÷ 65536     		y = 0.666854858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666854858398438 × 2 - 1) × π
    -0.333709716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04837999469063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35511655} λ = -0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04837999469063))-π/2
    2×atan(0.350505109562054)-π/2
    2×0.33712473474368-π/2
    0.67424946948736-1.57079632675     		φ = -0.89654686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89654686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.368351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29064 KachelY 43703 -0.35511655 -0.89654686 -20.346680 -51.368351
    Oben rechts KachelX + 1 29065 KachelY 43703 -0.35502068 -0.89654686 -20.341187 -51.368351
    Unten links KachelX 29064 KachelY + 1 43704 -0.35511655 -0.89660671 -20.346680 -51.371780
    Unten rechts KachelX + 1 29065 KachelY + 1 43704 -0.35502068 -0.89660671 -20.341187 -51.371780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89654686--0.89660671) × R
    5.98500000000834e-05 × 6371000     		dl = 381.304350000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89654686--0.89660671) × R
    5.98500000000834e-05 × 6371000     		dr = 381.304350000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35511655--0.35502068) × cos(-0.89654686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624311194290081 × 6371000     		do = 381.321642146467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35511655--0.35502068) × cos(-0.89660671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624264439804078 × 6371000     		du = 381.293085078223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89654686)-sin(-0.89660671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624311194290081-0.624264439804078)×R²
    abs(-0.35502068--0.35511655)×4.67544860032199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67544860032199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67544860032199e-05×40589641000000     		ar = 145394.156476074m²