Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29057 / 44387
↖ ↑ ↗
← S 53.654406°
W 20.385132°		 ← 361.99 m → S 53.654406°
W 20.379639°		 →
↑
361.94 m
↓
↑
361.94 m
↓
S 53.657661°
W 20.385132°		 ← 361.96 m →
131 011 m²		 S 53.657661°
W 20.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443382263183594 y=0.677299499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443382263183594 × 216)
    floor (0.443382263183594 × 65536)
    floor (29057.5)     		tx = 29057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677299499511719 × 216)
    floor (0.677299499511719 × 65536)
    floor (44387.5)     		ty = 44387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29057 / 44387 ti = "16/29057/44387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29057/44387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29057 ÷ 216
    29057 ÷ 65536     		x = 0.443374633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44387 ÷ 216
    44387 ÷ 65536     		y = 0.677291870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    -0.113250732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35578767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677291870117188 × 2 - 1) × π
    -0.354583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11395767337086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35578767} λ = -0.35578767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11395767337086))-π/2
    2×atan(0.328257251919717)-π/2
    2×0.317175145459318-π/2
    0.634350290918635-1.57079632675     		φ = -0.93644604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35578767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.385132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93644604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.654406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29057 KachelY 44387 -0.35578767 -0.93644604 -20.385132 -53.654406
    Oben rechts KachelX + 1 29058 KachelY 44387 -0.35569180 -0.93644604 -20.379639 -53.654406
    Unten links KachelX 29057 KachelY + 1 44388 -0.35578767 -0.93650285 -20.385132 -53.657661
    Unten rechts KachelX + 1 29058 KachelY + 1 44388 -0.35569180 -0.93650285 -20.379639 -53.657661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93644604--0.93650285) × R
    5.68100000000182e-05 × 6371000     		dl = 361.936510000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93644604--0.93650285) × R
    5.68100000000182e-05 × 6371000     		dr = 361.936510000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(-0.93644604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592654323482168 × 6371000     		do = 361.986012620524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35578767--0.35569180) × cos(-0.93650285) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592608564518106 × 6371000     		du = 361.958063604907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93644604)-sin(-0.93650285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592654323482168-0.592608564518106)×R²
    abs(-0.35569180--0.35578767)×4.57589640614486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57589640614486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57589640614486e-05×40589641000000     		ar = 131010.896227225m²