Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29055 / 44890
↖ ↑ ↗
← S 55.260338°
W 20.396118°		 ← 348.09 m → S 55.260338°
W 20.390625°		 →
↑
348.05 m
↓
↑
348.05 m
↓
S 55.263468°
W 20.396118°		 ← 348.07 m →
121 148 m²		 S 55.263468°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443351745605469 y=0.684974670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443351745605469 × 216)
    floor (0.443351745605469 × 65536)
    floor (29055.5)     		tx = 29055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684974670410156 × 216)
    floor (0.684974670410156 × 65536)
    floor (44890.5)     		ty = 44890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29055 / 44890 ti = "16/29055/44890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29055/44890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29055 ÷ 216
    29055 ÷ 65536     		x = 0.443344116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44890 ÷ 216
    44890 ÷ 65536     		y = 0.684967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443344116210938 × 2 - 1) × π
    -0.113311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35597942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.36993408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16218219438864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35597942} λ = -0.35597942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16218219438864))-π/2
    2×atan(0.312802838961391)-π/2
    2×0.303160740576257-π/2
    0.606321481152514-1.57079632675     		φ = -0.96447485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35597942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.396118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96447485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.260338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29055 KachelY 44890 -0.35597942 -0.96447485 -20.396118 -55.260338
    Oben rechts KachelX + 1 29056 KachelY 44890 -0.35588354 -0.96447485 -20.390625 -55.260338
    Unten links KachelX 29055 KachelY + 1 44891 -0.35597942 -0.96452948 -20.396118 -55.263468
    Unten rechts KachelX + 1 29056 KachelY + 1 44891 -0.35588354 -0.96452948 -20.390625 -55.263468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96447485--0.96452948) × R
    5.46300000000555e-05 × 6371000     		dl = 348.047730000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96447485--0.96452948) × R
    5.46300000000555e-05 × 6371000     		dr = 348.047730000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35597942--0.35588354) × cos(-0.96447485) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569848496763531 × 6371000     		do = 348.092797623752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35597942--0.35588354) × cos(-0.96452948) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569803603723073 × 6371000     		du = 348.065374643546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96447485)-sin(-0.96452948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569848496763531-0.569803603723073)×R²
    abs(-0.35588354--0.35597942)×4.48930404586267e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48930404586267e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48930404586267e-05×40589641000000     		ar = 121148.135819618m²