Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29051 / 45401
↖ ↑ ↗
← S 56.827939°
W 20.418091°		 ← 334.20 m → S 56.827939°
W 20.412598°		 →
↑
334.16 m
↓
↑
334.16 m
↓
S 56.830944°
W 20.418091°		 ← 334.17 m →
111 670 m²		 S 56.830944°
W 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443290710449219 y=0.692771911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443290710449219 × 216)
    floor (0.443290710449219 × 65536)
    floor (29051.5)     		tx = 29051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692771911621094 × 216)
    floor (0.692771911621094 × 65536)
    floor (45401.5)     		ty = 45401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29051 / 45401 ti = "16/29051/45401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29051/45401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29051 ÷ 216
    29051 ÷ 65536     		x = 0.443283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45401 ÷ 216
    45401 ÷ 65536     		y = 0.692764282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443283081054688 × 2 - 1) × π
    -0.113433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35636291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692764282226562 × 2 - 1) × π
    -0.385528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21117370580034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35636291} λ = -0.35636291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21117370580034))-π/2
    2×atan(0.297847488869136)-π/2
    2×0.289480845574139-π/2
    0.578961691148279-1.57079632675     		φ = -0.99183464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35636291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.418091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99183464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.827939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29051 KachelY 45401 -0.35636291 -0.99183464 -20.418091 -56.827939
    Oben rechts KachelX + 1 29052 KachelY 45401 -0.35626704 -0.99183464 -20.412598 -56.827939
    Unten links KachelX 29051 KachelY + 1 45402 -0.35636291 -0.99188709 -20.418091 -56.830944
    Unten rechts KachelX + 1 29052 KachelY + 1 45402 -0.35626704 -0.99188709 -20.412598 -56.830944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99183464--0.99188709) × R
    5.24499999999817e-05 × 6371000     		dl = 334.158949999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99183464--0.99188709) × R
    5.24499999999817e-05 × 6371000     		dr = 334.158949999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35636291--0.35626704) × cos(-0.99183464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547155131322229 × 6371000     		do = 334.195662504354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35636291--0.35626704) × cos(-0.99188709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547111228282178 × 6371000     		du = 334.168847064425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99183464)-sin(-0.99188709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547155131322229-0.547111228282178)×R²
    abs(-0.35626704--0.35636291)×4.39030400504192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39030400504192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39030400504192e-05×40589641000000     		ar = 111669.991392937m²