Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29045 / 45389
↖ ↑ ↗
← S 56.791854°
W 20.451050°		 ← 334.52 m → S 56.791854°
W 20.445557°		 →
↑
334.48 m
↓
↑
334.48 m
↓
S 56.794862°
W 20.451050°		 ← 334.49 m →
111 884 m²		 S 56.794862°
W 20.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443199157714844 y=0.692588806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443199157714844 × 216)
    floor (0.443199157714844 × 65536)
    floor (29045.5)     		tx = 29045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692588806152344 × 216)
    floor (0.692588806152344 × 65536)
    floor (45389.5)     		ty = 45389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29045 / 45389 ti = "16/29045/45389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29045/45389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29045 ÷ 216
    29045 ÷ 65536     		x = 0.443191528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45389 ÷ 216
    45389 ÷ 65536     		y = 0.692581176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443191528320312 × 2 - 1) × π
    -0.113616943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35693815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692581176757812 × 2 - 1) × π
    -0.385162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21002322020946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35693815} λ = -0.35693815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21002322020946))-π/2
    2×atan(0.29819035530699)-π/2
    2×0.289795744200865-π/2
    0.579591488401729-1.57079632675     		φ = -0.99120484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35693815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.451050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99120484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.791854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29045 KachelY 45389 -0.35693815 -0.99120484 -20.451050 -56.791854
    Oben rechts KachelX + 1 29046 KachelY 45389 -0.35684228 -0.99120484 -20.445557 -56.791854
    Unten links KachelX 29045 KachelY + 1 45390 -0.35693815 -0.99125734 -20.451050 -56.794862
    Unten rechts KachelX + 1 29046 KachelY + 1 45390 -0.35684228 -0.99125734 -20.445557 -56.794862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99120484--0.99125734) × R
    5.25000000000109e-05 × 6371000     		dl = 334.477500000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99120484--0.99125734) × R
    5.25000000000109e-05 × 6371000     		dr = 334.477500000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35693815--0.35684228) × cos(-0.99120484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547682185035362 × 6371000     		do = 334.517580466469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35693815--0.35684228) × cos(-0.99125734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547638258241714 × 6371000     		du = 334.490750518133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99120484)-sin(-0.99125734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547682185035362-0.547638258241714)×R²
    abs(-0.35684228--0.35693815)×4.39267936485077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39267936485077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39267936485077e-05×40589641000000     		ar = 111884.117039294m²