Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29043 / 44281
↖ ↑ ↗
← S 53.307903°
W 20.462036°		 ← 364.95 m → S 53.307903°
W 20.456543°		 →
↑
364.99 m
↓
↑
364.99 m
↓
S 53.311186°
W 20.462036°		 ← 364.93 m →
133 201 m²		 S 53.311186°
W 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443168640136719 y=0.675682067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443168640136719 × 216)
    floor (0.443168640136719 × 65536)
    floor (29043.5)     		tx = 29043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675682067871094 × 216)
    floor (0.675682067871094 × 65536)
    floor (44281.5)     		ty = 44281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29043 / 44281 ti = "16/29043/44281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29043/44281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29043 ÷ 216
    29043 ÷ 65536     		x = 0.443161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44281 ÷ 216
    44281 ÷ 65536     		y = 0.675674438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443161010742188 × 2 - 1) × π
    -0.113677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35712990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675674438476562 × 2 - 1) × π
    -0.351348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10379505065141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35712990} λ = -0.35712990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10379505065141))-π/2
    2×atan(0.331610215118412)-π/2
    2×0.320198947166924-π/2
    0.640397894333847-1.57079632675     		φ = -0.93039843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35712990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.462036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93039843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.307903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29043 KachelY 44281 -0.35712990 -0.93039843 -20.462036 -53.307903
    Oben rechts KachelX + 1 29044 KachelY 44281 -0.35703403 -0.93039843 -20.456543 -53.307903
    Unten links KachelX 29043 KachelY + 1 44282 -0.35712990 -0.93045572 -20.462036 -53.311186
    Unten rechts KachelX + 1 29044 KachelY + 1 44282 -0.35703403 -0.93045572 -20.456543 -53.311186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93039843--0.93045572) × R
    5.72899999999876e-05 × 6371000     		dl = 364.994589999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93039843--0.93045572) × R
    5.72899999999876e-05 × 6371000     		dr = 364.994589999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35712990--0.35703403) × cos(-0.93039843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597514545410687 × 6371000     		do = 364.954576733949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35712990--0.35703403) × cos(-0.93045572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597468605981189 × 6371000     		du = 364.926517492251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93039843)-sin(-0.93045572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597514545410687-0.597468605981189)×R²
    abs(-0.35703403--0.35712990)×4.59394294981541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59394294981541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59394294981541e-05×40589641000000     		ar = 133201.325404115m²