Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29039 / 44779
↖ ↑ ↗
← S 54.911357°
W 20.484009°		 ← 351.14 m → S 54.911357°
W 20.478515°		 →
↑
351.11 m
↓
↑
351.11 m
↓
S 54.914514°
W 20.484009°		 ← 351.12 m →
123 284 m²		 S 54.914514°
W 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443107604980469 y=0.683280944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443107604980469 × 216)
    floor (0.443107604980469 × 65536)
    floor (29039.5)     		tx = 29039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683280944824219 × 216)
    floor (0.683280944824219 × 65536)
    floor (44779.5)     		ty = 44779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29039 / 44779 ti = "16/29039/44779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29039/44779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29039 ÷ 216
    29039 ÷ 65536     		x = 0.443099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44779 ÷ 216
    44779 ÷ 65536     		y = 0.683273315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443099975585938 × 2 - 1) × π
    -0.113800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35751340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683273315429688 × 2 - 1) × π
    -0.366546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15154020267299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35751340} λ = -0.35751340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15154020267299))-π/2
    2×atan(0.316149459954462)-π/2
    2×0.306206180237794-π/2
    0.612412360475588-1.57079632675     		φ = -0.95838397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35751340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.484009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95838397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.911357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29039 KachelY 44779 -0.35751340 -0.95838397 -20.484009 -54.911357
    Oben rechts KachelX + 1 29040 KachelY 44779 -0.35741752 -0.95838397 -20.478515 -54.911357
    Unten links KachelX 29039 KachelY + 1 44780 -0.35751340 -0.95843908 -20.484009 -54.914514
    Unten rechts KachelX + 1 29040 KachelY + 1 44780 -0.35741752 -0.95843908 -20.478515 -54.914514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95838397--0.95843908) × R
    5.51100000000249e-05 × 6371000     		dl = 351.105810000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95838397--0.95843908) × R
    5.51100000000249e-05 × 6371000     		dr = 351.105810000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35751340--0.35741752) × cos(-0.95838397) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.57484307475762 × 6371000     		do = 351.143742983416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35751340--0.35741752) × cos(-0.95843908) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.574797979373664 × 6371000     		du = 351.116196401385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95838397)-sin(-0.95843908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57484307475762-0.574797979373664)×R²
    abs(-0.35741752--0.35751340)×4.50953839563617e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50953839563617e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50953839563617e-05×40589641000000     		ar = 123283.772455113m²