Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29034 / 44266
↖ ↑ ↗
← S 53.258642°
W 20.511475°		 ← 365.41 m → S 53.258642°
W 20.505981°		 →
↑
365.38 m
↓
↑
365.38 m
↓
S 53.261927°
W 20.511475°		 ← 365.39 m →
133 509 m²		 S 53.261927°
W 20.505981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443031311035156 y=0.675453186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443031311035156 × 216)
    floor (0.443031311035156 × 65536)
    floor (29034.5)     		tx = 29034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675453186035156 × 216)
    floor (0.675453186035156 × 65536)
    floor (44266.5)     		ty = 44266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29034 / 44266 ti = "16/29034/44266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29034/44266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29034 ÷ 216
    29034 ÷ 65536     		x = 0.443023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44266 ÷ 216
    44266 ÷ 65536     		y = 0.675445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.35089111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10235694366281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35799277} λ = -0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10235694366281))-π/2
    2×atan(0.332087449160822)-π/2
    2×0.320628839853751-π/2
    0.641257679707502-1.57079632675     		φ = -0.92953865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92953865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.258642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29034 KachelY 44266 -0.35799277 -0.92953865 -20.511475 -53.258642
    Oben rechts KachelX + 1 29035 KachelY 44266 -0.35789689 -0.92953865 -20.505981 -53.258642
    Unten links KachelX 29034 KachelY + 1 44267 -0.35799277 -0.92959600 -20.511475 -53.261927
    Unten rechts KachelX + 1 29035 KachelY + 1 44267 -0.35789689 -0.92959600 -20.505981 -53.261927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92953865--0.92959600) × R
    5.7349999999956e-05 × 6371000     		dl = 365.37684999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92953865--0.92959600) × R
    5.7349999999956e-05 × 6371000     		dr = 365.37684999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35799277--0.35789689) × cos(-0.92953865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598203746011272 × 6371000     		do = 365.413643592501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35799277--0.35789689) × cos(-0.92959600) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598157787946571 × 6371000     		du = 365.385570040661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92953865)-sin(-0.92959600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598203746011272-0.598157787946571)×R²
    abs(-0.35789689--0.35799277)×4.59580647012015e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59580647012015e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59580647012015e-05×40589641000000     		ar = 133508.557366234m²