Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29032 / 44694
↖ ↑ ↗
← S 54.642056°
W 20.522461°		 ← 353.45 m → S 54.642056°
W 20.516968°		 →
↑
353.46 m
↓
↑
353.46 m
↓
S 54.645234°
W 20.522461°		 ← 353.42 m →
124 927 m²		 S 54.645234°
W 20.516968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443000793457031 y=0.681983947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443000793457031 × 216)
    floor (0.443000793457031 × 65536)
    floor (29032.5)     		tx = 29032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681983947753906 × 216)
    floor (0.681983947753906 × 65536)
    floor (44694.5)     		ty = 44694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29032 / 44694 ti = "16/29032/44694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29032/44694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29032 ÷ 216
    29032 ÷ 65536     		x = 0.4429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44694 ÷ 216
    44694 ÷ 65536     		y = 0.681976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681976318359375 × 2 - 1) × π
    -0.36395263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14339092973758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35818451} λ = -0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14339092973758))-π/2
    2×atan(0.318736374612276)-π/2
    2×0.308556275002058-π/2
    0.617112550004115-1.57079632675     		φ = -0.95368378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95368378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.642056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29032 KachelY 44694 -0.35818451 -0.95368378 -20.522461 -54.642056
    Oben rechts KachelX + 1 29033 KachelY 44694 -0.35808864 -0.95368378 -20.516968 -54.642056
    Unten links KachelX 29032 KachelY + 1 44695 -0.35818451 -0.95373926 -20.522461 -54.645234
    Unten rechts KachelX + 1 29033 KachelY + 1 44695 -0.35808864 -0.95373926 -20.516968 -54.645234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95368378--0.95373926) × R
    5.54799999999966e-05 × 6371000     		dl = 353.463079999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95368378--0.95373926) × R
    5.54799999999966e-05 × 6371000     		dr = 353.463079999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35818451--0.35808864) × cos(-0.95368378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578682705689048 × 6371000     		do = 353.452319345372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35818451--0.35808864) × cos(-0.95373926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578637457930604 × 6371000     		du = 353.424682567895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95368378)-sin(-0.95373926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578682705689048-0.578637457930604)×R²
    abs(-0.35808864--0.35818451)×4.52477584442779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52477584442779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52477584442779e-05×40589641000000     		ar = 124927.461170649m²