Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29031 / 44709
↖ ↑ ↗
← S 54.689710°
W 20.527954°		 ← 353.07 m → S 54.689710°
W 20.522461°		 →
↑
353.02 m
↓
↑
353.02 m
↓
S 54.692884°
W 20.527954°		 ← 353.05 m →
124 637 m²		 S 54.692884°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442985534667969 y=0.682212829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442985534667969 × 216)
    floor (0.442985534667969 × 65536)
    floor (29031.5)     		tx = 29031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682212829589844 × 216)
    floor (0.682212829589844 × 65536)
    floor (44709.5)     		ty = 44709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29031 / 44709 ti = "16/29031/44709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29031/44709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29031 ÷ 216
    29031 ÷ 65536     		x = 0.442977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44709 ÷ 216
    44709 ÷ 65536     		y = 0.682205200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442977905273438 × 2 - 1) × π
    -0.114044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35828039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682205200195312 × 2 - 1) × π
    -0.364410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14482903672618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35828039} λ = -0.35828039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14482903672618))-π/2
    2×atan(0.318278327044072)-π/2
    2×0.308140415145279-π/2
    0.616280830290558-1.57079632675     		φ = -0.95451550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35828039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.527954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95451550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.689710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29031 KachelY 44709 -0.35828039 -0.95451550 -20.527954 -54.689710
    Oben rechts KachelX + 1 29032 KachelY 44709 -0.35818451 -0.95451550 -20.522461 -54.689710
    Unten links KachelX 29031 KachelY + 1 44710 -0.35828039 -0.95457091 -20.527954 -54.692884
    Unten rechts KachelX + 1 29032 KachelY + 1 44710 -0.35818451 -0.95457091 -20.522461 -54.692884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95451550--0.95457091) × R
    5.5410000000089e-05 × 6371000     		dl = 353.017110000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95451550--0.95457091) × R
    5.5410000000089e-05 × 6371000     		dr = 353.017110000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35828039--0.35818451) × cos(-0.95451550) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.578004194060363 × 6371000     		do = 353.074717387953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35828039--0.35818451) × cos(-0.95457091) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.577958976740591 × 6371000     		du = 353.047096321248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95451550)-sin(-0.95457091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578004194060363-0.577958976740591)×R²
    abs(-0.35818451--0.35828039)×4.52173197721395e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.52173197721395e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.52173197721395e-05×40589641000000     		ar = 124636.541023682m²