Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29030 / 44695
↖ ↑ ↗
← S 54.645234°
W 20.533447°		 ← 353.42 m → S 54.645234°
W 20.527954°		 →
↑
353.40 m
↓
↑
353.40 m
↓
S 54.648413°
W 20.533447°		 ← 353.40 m →
124 895 m²		 S 54.648413°
W 20.527954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442970275878906 y=0.681999206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442970275878906 × 216)
    floor (0.442970275878906 × 65536)
    floor (29030.5)     		tx = 29030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681999206542969 × 216)
    floor (0.681999206542969 × 65536)
    floor (44695.5)     		ty = 44695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29030 / 44695 ti = "16/29030/44695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29030/44695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29030 ÷ 216
    29030 ÷ 65536     		x = 0.442962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44695 ÷ 216
    44695 ÷ 65536     		y = 0.681991577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.11407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35837626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681991577148438 × 2 - 1) × π
    -0.363983154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14348680353682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35837626} λ = -0.35837626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14348680353682))-π/2
    2×atan(0.318705817609917)-π/2
    2×0.308528535831651-π/2
    0.617057071663302-1.57079632675     		φ = -0.95373926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35837626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.533447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95373926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.645234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29030 KachelY 44695 -0.35837626 -0.95373926 -20.533447 -54.645234
    Oben rechts KachelX + 1 29031 KachelY 44695 -0.35828039 -0.95373926 -20.527954 -54.645234
    Unten links KachelX 29030 KachelY + 1 44696 -0.35837626 -0.95379473 -20.533447 -54.648413
    Unten rechts KachelX + 1 29031 KachelY + 1 44696 -0.35828039 -0.95379473 -20.527954 -54.648413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95373926--0.95379473) × R
    5.54700000000574e-05 × 6371000     		dl = 353.399370000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95373926--0.95379473) × R
    5.54700000000574e-05 × 6371000     		dr = 353.399370000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35837626--0.35828039) × cos(-0.95373926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578637457930604 × 6371000     		do = 353.424682567895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35837626--0.35828039) × cos(-0.95379473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578592216547265 × 6371000     		du = 353.397049684254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95373926)-sin(-0.95379473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578637457930604-0.578592216547265)×R²
    abs(-0.35828039--0.35837626)×4.52413833382792e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52413833382792e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52413833382792e-05×40589641000000     		ar = 124895.177472385m²