Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29027 / 45281
↖ ↑ ↗
← S 56.465525°
W 20.549927°		 ← 337.42 m → S 56.465525°
W 20.544434°		 →
↑
337.41 m
↓
↑
337.41 m
↓
S 56.468560°
W 20.549927°		 ← 337.40 m →
113 845 m²		 S 56.468560°
W 20.544434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442924499511719 y=0.690940856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442924499511719 × 216)
    floor (0.442924499511719 × 65536)
    floor (29027.5)     		tx = 29027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690940856933594 × 216)
    floor (0.690940856933594 × 65536)
    floor (45281.5)     		ty = 45281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29027 / 45281 ti = "16/29027/45281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29027/45281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29027 ÷ 216
    29027 ÷ 65536     		x = 0.442916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45281 ÷ 216
    45281 ÷ 65536     		y = 0.690933227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442916870117188 × 2 - 1) × π
    -0.114166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35866388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690933227539062 × 2 - 1) × π
    -0.381866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19966884989153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35866388} λ = -0.35866388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19966884989153))-π/2
    2×atan(0.30129396892451)-π/2
    2×0.292643498743518-π/2
    0.585286997487035-1.57079632675     		φ = -0.98550933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35866388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.549927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98550933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.465525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29027 KachelY 45281 -0.35866388 -0.98550933 -20.549927 -56.465525
    Oben rechts KachelX + 1 29028 KachelY 45281 -0.35856801 -0.98550933 -20.544434 -56.465525
    Unten links KachelX 29027 KachelY + 1 45282 -0.35866388 -0.98556229 -20.549927 -56.468560
    Unten rechts KachelX + 1 29028 KachelY + 1 45282 -0.35856801 -0.98556229 -20.544434 -56.468560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98550933--0.98556229) × R
    5.29599999999908e-05 × 6371000     		dl = 337.408159999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98550933--0.98556229) × R
    5.29599999999908e-05 × 6371000     		dr = 337.408159999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35866388--0.35856801) × cos(-0.98550933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552438632281912 × 6371000     		do = 337.422760273311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35866388--0.35856801) × cos(-0.98556229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552394486510025 × 6371000     		du = 337.395796575746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98550933)-sin(-0.98556229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552438632281912-0.552394486510025)×R²
    abs(-0.35856801--0.35866388)×4.41457718871607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41457718871607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41457718871607e-05×40589641000000     		ar = 113844.643826801m²