Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29027 / 44702
↖ ↑ ↗
← S 54.667478°
W 20.549927°		 ← 353.23 m → S 54.667478°
W 20.544434°		 →
↑
353.27 m
↓
↑
353.27 m
↓
S 54.670655°
W 20.549927°		 ← 353.20 m →
124 782 m²		 S 54.670655°
W 20.544434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442924499511719 y=0.682106018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442924499511719 × 216)
    floor (0.442924499511719 × 65536)
    floor (29027.5)     		tx = 29027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682106018066406 × 216)
    floor (0.682106018066406 × 65536)
    floor (44702.5)     		ty = 44702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29027 / 44702 ti = "16/29027/44702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29027/44702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29027 ÷ 216
    29027 ÷ 65536     		x = 0.442916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44702 ÷ 216
    44702 ÷ 65536     		y = 0.682098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442916870117188 × 2 - 1) × π
    -0.114166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35866388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682098388671875 × 2 - 1) × π
    -0.36419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1441579201315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35866388} λ = -0.35866388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1441579201315))-π/2
    2×atan(0.318492000602994)-π/2
    2×0.308334422364133-π/2
    0.616668844728265-1.57079632675     		φ = -0.95412748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35866388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.549927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95412748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.667478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29027 KachelY 44702 -0.35866388 -0.95412748 -20.549927 -54.667478
    Oben rechts KachelX + 1 29028 KachelY 44702 -0.35856801 -0.95412748 -20.544434 -54.667478
    Unten links KachelX 29027 KachelY + 1 44703 -0.35866388 -0.95418293 -20.549927 -54.670655
    Unten rechts KachelX + 1 29028 KachelY + 1 44703 -0.35856801 -0.95418293 -20.544434 -54.670655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95412748--0.95418293) × R
    5.54499999999569e-05 × 6371000     		dl = 353.271949999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95412748--0.95418293) × R
    5.54499999999569e-05 × 6371000     		dr = 353.271949999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35866388--0.35856801) × cos(-0.95412748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57832078797284 × 6371000     		do = 353.231264430566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35866388--0.35856801) × cos(-0.95418293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578275550449524 × 6371000     		du = 353.203633904579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95412748)-sin(-0.95418293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57832078797284-0.578275550449524)×R²
    abs(-0.35856801--0.35866388)×4.52375233159774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52375233159774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52375233159774e-05×40589641000000     		ar = 124781.817073006m²